Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(\frac{t^{4}}{3}-\operatorname{sen} t+\frac{4}{t}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede uma antiderivada de \displaystyle \frac{t^{4}}{3}-\operatorname{sen} t+\frac{4}{t}.
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral e as regras de antiderivação: a regra do poder, a antiderivada de \operatorname{sen} t e a antiderivada de 1/t.

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral em três parcelas:
\int\Bigl(\tfrac{t^{4}}{3}-\operatorname{sen} t+\tfrac{4}{t}\Bigr)dt = \int\tfrac{t^{4}}{3}dt \;-\; \int\operatorname{sen} t\,dt \;+\; \int\tfrac{4}{t}dt.

Passo 3

Para a primeira integral, fatoramos \tfrac13 e aplicamos a regra do poder \int t^n dt = t^{n+1}/(n+1):
\int\tfrac{t^{4}}{3}dt = \tfrac{1}{3}\int t^{4}dt = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{t^{5}}{5} = \tfrac{t^{5}}{15}.

Passo 4

Para a segunda integral, usamos que \tfrac{d}{dt}(\cos t)=-\operatorname{sen} t, logo
-\int\operatorname{sen} t\,dt = -\bigl(-\cos t\bigr) = \cos t.

Passo 5

Para a terceira integral, usamos que \int\frac{1}{t}dt=\ln|t|, portanto
\int\tfrac{4}{t}dt =4\int\tfrac{1}{t}dt =4\ln|t|.

Passo 6

Somando todas as parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos como antiderivada
\frac{t^{5}}{15} \;+\;\cos t\;+\;4\ln|t|\;+\;C.

Resposta

\frac{t^{5}}{15} + \cos t + 4\ln|t| + C

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