Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(\frac{1}{x^{3}}-3 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma primitiva da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{3}}-3x.
O assunto aqui é integração de potências, usando a regra \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando em potências de x:
\frac{1}{x^{3}} - 3x = x^{-3} - 3x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da integral em cada termo. Para x^{-3}, temos n=-3, logo
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,x^{2}}.

Passo 4

Para o segundo termo -3x, tiramos a constante -3 e integramos x n=1:
\int (-3x)\,dx = -3\int x\,dx = -3\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{3\,x^{2}}{2}.

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante C, obtemos a primitiva geral:

Resposta

F(x) = -\frac{1}{2\,x^{2}} \;-\;\frac{3\,x^{2}}{2} + C.

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