Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(7-\frac{e^{x}}{2}-4 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
7 - \frac{e^{x}}{2} - 4x
em relação a x. Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, integrando cada termo separadamente.

Passo 2

Para o primeiro termo, temos
\int 7\,dx = 7x + C_1,
pois a integral de uma constante a é ax.

Passo 3

Para o segundo termo,
\int \!\bigl(-\tfrac{e^{x}}{2}\bigr)\,dx = -\tfrac{1}{2}\int e^{x}\,dx = -\tfrac{1}{2}\,e^{x} + C_2,
já que \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Para o terceiro termo,
\int (-4x)\,dx = -4\int x\,dx = -4\cdot \frac{x^{2}}{2} = -2x^{2} + C_3,
porque \int x\,dx = x^{2}/2.

Passo 5

Somando as três integrais e agrupando as constantes em uma só C, obtemos
F(x) = 7x - \frac{e^{x}}{2} - 2x^{2} + C.

Resposta

7x - \frac{e^{x}}{2} - 2x^{2} + C

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