Encontre a aproximação linear da função
em
. Use a aproximação encontrada para estimar o valor de
Passo 1
Beleza, o exercício pede para encontrar a aproximação linear da função $ f(x) = \sqrt{16 - x} $ em $ x = 0 $. Depois, vamos usar essa aproximação para estimar o valor de $ \sqrt{15,8} $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a aproximação linear, que envolve derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aproximação linear. Basicamente, ela nos dá uma reta que “aproxima” a função em um ponto específico. Essa reta é chamada de reta tangente e é calculada usando o valor da função e a sua derivada naquele ponto.
Passo 3
Vamos encontrar o valor da função $ f(x) $ em $ x = 0 $:
Então, a função vale 4 quando $ x = 0 $.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ f(x) = \sqrt{16 - x} $ é:
Então, a derivada $ f’(x) = -\frac{1}{2\sqrt{16 - x}} $.
Passo 5
Vamos calcular a derivada no ponto $ x = 0 $:
Então, a inclinação da reta tangente em $ x = 0 $ é
.
Passo 6
Com o valor da função e a derivada em $ x = 0 $, podemos escrever a equação da aproximação linear $ L(x) $ usando a fórmula:
Aqui, $ a = 0 $, então:
Passo 7
Agora que temos a aproximação linear, vamos usá-la para estimar $ \sqrt{15,8} $. Primeiro, notamos que:
Então, vamos usar $ L(x) $ para estimar $ f(0,2) $:
Resposta
A aproximação linear de $ \sqrt{15,8} $ é aproximadamente 3,975.