(1,0) Encontre a aproximação linear da função f(x)=raiz16-x em x=0. Use a aproximação encontrada para estimar o valor de raiz15,8

Passo 1

Beleza, o exercício pede para encontrar a aproximação linear da função $ f(x) = \sqrt{16 - x} $ em $ x = 0 $. Depois, vamos usar essa aproximação para estimar o valor de $ \sqrt{15,8} $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a aproximação linear, que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aproximação linear. Basicamente, ela nos dá uma reta que “aproxima” a função em um ponto específico. Essa reta é chamada de reta tangente e é calculada usando o valor da função e a sua derivada naquele ponto.

Passo 3

Vamos encontrar o valor da função $ f(x) $ em $ x = 0 $:
f(x)
Então, a função vale 4 quando $ x = 0 $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ f(x) = \sqrt{16 - x} $ é:
f(x)
Então, a derivada $ f’(x) = -\frac{1}{2\sqrt{16 - x}} $.

Passo 5

Vamos calcular a derivada no ponto $ x = 0 $:
x = 0
Então, a inclinação da reta tangente em $ x = 0 $ é f'(0) = -12raiz16 - 0 = -12 cdot 4 = -18 .

Passo 6

Com o valor da função e a derivada em $ x = 0 $, podemos escrever a equação da aproximação linear $ L(x) $ usando a fórmula:
x = 0
Aqui, $ a = 0 $, então:
L(x)

Passo 7

Agora que temos a aproximação linear, vamos usá-la para estimar $ \sqrt{15,8} $. Primeiro, notamos que:
raiz15,8
Então, vamos usar $ L(x) $ para estimar $ f(0,2) $:
raiz15,8 = raiz16 - 0,2 = f(0,2)

Resposta

A aproximação linear de $ \sqrt{15,8} $ é aproximadamente 3,975.

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