Encontre uma aproximação para o peso de material usado na fabricação de uma calha semicilíndrica, com 5 c m de comprimento, 30 c m de diâmetro externo e 0,5 c m de espessura, sabendo-se que o peso espefícico desse material é de 8 gramas por 8 gramas porcm { }^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • comprimento da calha: L=5\\ \text{cm};
  • diâmetro externo: D_{\text{ext}}=30\\ \text{cm};
  • espessura da parede: t=0,5\\ \text{cm};
  • peso específico (densidade) do material: \rho=8\\ \text{g/cm}^3.
O que é pedido: aproximar o peso (massa) do material usado na calha semicilíndrica.

Passo 2

Entender a forma geométrica e escrever a fórmula do volume do material.
Uma calha semicilíndrica pode ser vista como a diferença entre dois semicerros cilíndricos coaxiais: o semicírculo externo (raio R) menos o semicírculo interno (raio r). O volume de um cilindro completo de raio r e comprimento L é
V_{\text{cil}}=\pi r^{2} L.
Como a calha é semicilíndrica, o volume de um semicílio é metade disso. Portanto o volume do material (volume do casquete semicilíndrico) é
V=\tfrac{1}{2}\pi L\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).
Aqui R é o raio externo e r o raio interno; além disso r=R-t.

Passo 3

Calcular R e r a partir dos dados:
R=\tfrac{1}{2}D_{\text{ext}}=\tfrac{1}{2}\cdot 30=15\\ \text{cm}, \qquad r=R-t=15-0,5=14,5\\ \text{cm}.

Passo 4

Simplificar R^{2}-r^{2} usando a fatoração diferença de quadrados para evitar números grandes:
R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=t(R+r).
Assim não é preciso calcular R^{2} e r^{2} separadamente.

Passo 5

Substituir os valores e calcular o volume passo a passo.
Calcular R+r:
R+r=15+14,5=29,5\\ \text{cm}.
Calcular t(R+r):
t(R+r)=0,5\cdot 29,5=14,75\\ \text{cm}^{2}.
Agora usar a expressão do volume:
V=\tfrac{1}{2}\pi L\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\pi L\bigl(t(R+r)\bigr).
Substituindo L=5 e t(R+r)=14,75:
V=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 5\cdot 14,75.
Calcular em etapas: \tfrac{1}{2}\cdot 5=2,5; então 2,5\cdot 14,75=36,875. Portanto
V=36,875\pi\\ \text{cm}^{3}\approx 36,875\cdot 3,1416\\ \text{cm}^{3}\approx 115,83\\ \text{cm}^{3}.

Passo 6

Calcular a massa (peso) multiplicando a densidade pelo volume. A fórmula é
m=\rho V,
onde m é a massa em gramas, \rho é a densidade em \text{g/cm}^{3} e V o volume em \text{cm}^{3}.
Substituindo \rho=8\\ \text{g/cm}^{3} e V\approx 115,83\\ \text{cm}^{3}:
m=8\cdot 115,83\\ \text{g}\approx 926,64\\ \text{g}.
Arredondando de forma prática: m\approx 926,7\\ \text{g}, que corresponde a aproximadamente 0,927\\ \text{kg}.

Passo 7

Verificação rápida pela aproximação de parede delgada (checa consistência):
Para parede delgada a estimativa do volume é área da superfície média multiplicada por t. A superfície média tem raio R_{m}=R-\tfrac{t}{2}=14,75\\ \text{cm}. A meia circunferência tem comprimento \pi R_{m}, área média A_{\text{m}}=\pi R_{m}\cdot L. Então
V_{\text{aprox}}=A_{\text{m}}\,t=\pi R_{m} L t=\pi\cdot 14,75\cdot 5\cdot 0,5=36,875\pi,
mesmo número que obtivemos exatamente, confirmando a consistência do cálculo.

Resposta

m\approx 926,7\\ \text{g}\approx 0,927\\ \text{kg}

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