Encontre uma aproximação para o peso de material usado na fabricação de uma calha semicilíndrica, com
de comprimento,
de diâmetro externo e
de espessura, sabendo-se que o peso espefícico desse material é de 8 gramas por 8 gramas porcm
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
- comprimento da calha:
; - diâmetro externo:
; - espessura da parede:
; - peso específico (densidade) do material:
.
O que é pedido: aproximar o peso (massa) do material usado na calha semicilíndrica.
Passo 2
Entender a forma geométrica e escrever a fórmula do volume do material.
Uma calha semicilíndrica pode ser vista como a diferença entre dois semicerros cilíndricos coaxiais: o semicírculo externo (raio
) menos o semicírculo interno (raio
). O volume de um cilindro completo de raio
e comprimento
é
Como a calha é semicilíndrica, o volume de um semicílio é metade disso. Portanto o volume do material (volume do casquete semicilíndrico) é
Aqui
é o raio externo e
o raio interno; além disso
.
Passo 3
Calcular
e
a partir dos dados:
Passo 4
Simplificar
usando a fatoração diferença de quadrados para evitar números grandes:
Assim não é preciso calcular
e
separadamente.
Passo 5
Substituir os valores e calcular o volume passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Agora usar a expressão do volume:
Substituindo
e
:
Calcular em etapas:
; então
. Portanto
Passo 6
Calcular a massa (peso) multiplicando a densidade pelo volume. A fórmula é
onde
é a massa em gramas,
é a densidade em
e
o volume em
.
Substituindo
e
:
Arredondando de forma prática:
, que corresponde a aproximadamente
.
Passo 7
Verificação rápida pela aproximação de parede delgada (checa consistência):
Para parede delgada a estimativa do volume é área da superfície média multiplicada por
. A superfície média tem raio
. A meia circunferência tem comprimento
, área média
. Então
mesmo número que obtivemos exatamente, confirmando a consistência do cálculo.