Calcule
usando derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
Pede-se para calcular
— ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona
e de forma implícita (não está isolado em função de ). - Deve-se assumir que
é uma função de , isto é, . - Todas as ocorrências de
serão diferenciadas usando a regra da cadeia quando necessário.
Passo 2
Explicação das ferramentas que serão usadas (aulas rápidas):
- Regra do produto: se tiver duas funções
e , então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia: se
depende de , então para a função composta ,
Em palavras: deriva-se a potência normalmente (trazendo o expoente) e multiplica-se pela derivada interna
.
- Derivada de potência simples:
para inteiro .
Passo 3
Antes de derivar, é conveniente simplificar a equação reunindo todos os termos de um lado. Subtraindo
de ambos os lados:
Agrupando termos semelhantes:
Observação útil (não necessária para derivar, mas ajuda a ver estrutura): é possível fatorar
como
porém a derivação implícita pode ser feita diretamente na forma original também.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a
. A derivada do lado direito
é
. Vamos derivar termo a termo o lado esquerdo. Para clareza, diferenciamos a forma não-fatorada:
Derivando ambos os lados:
Passo 5
Derivamos cada termo usando as regras apresentadas.
- Para
aplicamos a regra do produto com e . Temos e, pela regra da cadeia, . Então
Passo 6
- Para
vemos como produto de e . Então e . Aplicando a regra do produto:
Passo 7
- Para
usamos a derivada de potência:
Passo 8
- Para o lado direito
aplicamos a regra do produto com e . Temos e . Logo
Passo 9
Agora juntamos todos os resultados na igualdade:
Passo 10
Agrupamos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro. Primeiro somamos os termos similares no lado esquerdo:
- Termos sem
: . - Termos com
: .
Subtraindo
(o lado direito) de ambos os lados obtemos:
Passo 11
Simplificamos cada grupo:
- Para os coeficientes de
:
- Para os termos sem
:
Portanto a equação fica
Passo 12
Isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que esse denominador não seja zero no ponto considerado):
Passo 13
Fazemos uma simplificação algébrica final: o numerador é um quadrado perfeito,
e o denominador pode ser escrito como fatorando
:
Portanto uma forma mais compacta e informativa da derivada é
Essa é a expressão final para
, válida quando
.