Calcule \frac{d y}{d x} usando derivação implícita:
x y^{2}+2 x^{2} y+\frac{1}{3} x^{3}=x^{2} y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x y^{2}+2 x^{2} y+\frac{1}{3} x^{3}=x^{2} y.
Pede-se para calcular \dfrac{d y}{d x} — ou seja, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita (não está isolado y em função de x).
  • Deve-se assumir que y é uma função de x, isto é, y=y(x).
  • Todas as ocorrências de y serão diferenciadas usando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Explicação das ferramentas que serão usadas (aulas rápidas):
  • Regra do produto: se tiver duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • Regra da cadeia: se y depende de x, então para a função composta y(x)^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(y(x)^{2}\bigr)=2\,y(x)\,\frac{dy}{dx}.
Em palavras: deriva-se a potência normalmente (trazendo o expoente) e multiplica-se pela derivada interna \dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada de potência simples: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1} para inteiro n.

Passo 3

Antes de derivar, é conveniente simplificar a equação reunindo todos os termos de um lado. Subtraindo x^{2}y de ambos os lados:
x y^{2}+2 x^{2} y+\frac{1}{3} x^{3}-x^{2} y=0.
Agrupando termos semelhantes:
x y^{2}+x^{2} y+\frac{1}{3} x^{3}=0.
Observação útil (não necessária para derivar, mas ajuda a ver estrutura): é possível fatorar x como
x\bigl(y^{2}+x y+\tfrac{1}{3}x^{2}\bigr)=0,
porém a derivação implícita pode ser feita diretamente na forma original também.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. A derivada do lado direito 0 é 0. Vamos derivar termo a termo o lado esquerdo. Para clareza, diferenciamos a forma não-fatorada:
x y^{2}+2 x^{2} y+\frac{1}{3} x^{3}=x^{2} y.
Derivando ambos os lados:
\frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{2} y\bigr)+\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{3}x^{3}\right) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} y\bigr).

Passo 5

Derivamos cada termo usando as regras apresentadas.
  1. Para \dfrac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr) aplicamos a regra do produto com u(x)=x e v(x)=y^{2}. Temos u'(x)=1 e, pela regra da cadeia, v'(x)=2y\frac{dy}{dx}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr)=1\cdot y^{2}+x\cdot 2y\frac{dy}{dx}=y^{2}+2x y\frac{dy}{dx}.

Passo 6

  1. Para \dfrac{d}{dx}\bigl(2 x^{2} y\bigr) vemos 2 x^{2} y como produto de u(x)=2x^{2} e v(x)=y. Então u'(x)=4x e v'(x)=\dfrac{dy}{dx}. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{2} y\bigr)=4x\,y+2x^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 7

  1. Para \dfrac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{3}x^{3}\right) usamos a derivada de potência:
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{3}x^{3}\right)=\tfrac{1}{3}\cdot 3x^{2}=x^{2}.

Passo 8

  1. Para o lado direito \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2} y\bigr) aplicamos a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=y. Temos u'(x)=2x e v'(x)=\dfrac{dy}{dx}. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} y\bigr)=2x\,y+x^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 9

Agora juntamos todos os resultados na igualdade:
\bigl(y^{2}+2x y\frac{dy}{dx}\bigr)+\bigl(4x y+2x^{2}\frac{dy}{dx}\bigr)+x^{2} =2x y+x^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 10

Agrupamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro. Primeiro somamos os termos similares no lado esquerdo:
  • Termos sem \dfrac{dy}{dx}: y^{2}+4x y+x^{2}.
  • Termos com \dfrac{dy}{dx}: 2x y\frac{dy}{dx}+2x^{2}\frac{dy}{dx}.
Subtraindo 2x y+x^{2}\frac{dy}{dx} (o lado direito) de ambos os lados obtemos:
\bigl(2x y\frac{dy}{dx}+2x^{2}\frac{dy}{dx}-x^{2}\frac{dy}{dx}\bigr) +\bigl(y^{2}+4x y-2x y+x^{2}\bigr)=0.

Passo 11

Simplificamos cada grupo:
  • Para os coeficientes de \dfrac{dy}{dx}:
2x y\frac{dy}{dx}+2x^{2}\frac{dy}{dx}-x^{2}\frac{dy}{dx} =(2x y+x^{2})\frac{dy}{dx}.
  • Para os termos sem \dfrac{dy}{dx}:
y^{2}+4x y-2x y+x^{2}=y^{2}+2x y+x^{2}.
Portanto a equação fica
(2x y+x^{2})\frac{dy}{dx}+ \bigl(y^{2}+2x y+x^{2}\bigr)=0.

Passo 12

Isolamos \dfrac{dy}{dx}:
(2x y+x^{2})\frac{dy}{dx}=-\bigl(y^{2}+2x y+x^{2}\bigr).
Dividindo ambos os lados por 2x y+x^{2} (assumindo que esse denominador não seja zero no ponto considerado):
\frac{dy}{dx}=-\frac{y^{2}+2x y+x^{2}}{2x y+x^{2}}.

Passo 13

Fazemos uma simplificação algébrica final: o numerador é um quadrado perfeito,
y^{2}+2x y+x^{2}=(y+x)^{2},
e o denominador pode ser escrito como fatorando x:
2x y+x^{2}=x(2y+x).
Portanto uma forma mais compacta e informativa da derivada é
\frac{dy}{dx}=-\frac{(y+x)^{2}}{x(2y+x)}.
Essa é a expressão final para \dfrac{dy}{dx}, válida quando x(2y+x)\neq 0.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{y^{2}+2x y+x^{2}}{2x y+x^{2}}=-\frac{(y+x)^{2}}{x(2y+x)}.

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