Encontre a área limitada pelas curvas y^{2}=4 x e x^{2}=\frac{y}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pelas curvas
\,y^2=4x
e
\,x^2=\tfrac{y}{2}.
Isso é um problema de área de região plana por integração: vamos achar os pontos de interseção, expressar as curvas como funções e montar a integral que dá a área.

Passo 2

Para encontrar as interseções, escrevemos uma curva em função da outra. Da segunda temos
y = 2x^2
e substituímos em y^2=4x:
(2x^2)^2 = 4x \quad\Longrightarrow\quad 4x^4 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x(x^3-1)=0
Logo x=0 ou x=1. Esses dão y=2x^2, isto é os pontos (0,0) e (1,2).

Passo 3

Para 0\le x\le1, expressamos cada curva como y em função de x:
y_1(x)=2\sqrt{x} \quad\text{(de \(y^2=4x\))}
y_2(x)=2x^2 \quad\text{(de \(x^2=\tfrac{y}{2}\)).}
Para decidir qual está acima, notamos que em [0,1] vale
\sqrt{x}\ge x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge x^4,
o que é verdade para 0\le x\le1. Multiplicando por 2, 2\sqrt{x}\ge2x^2, ou seja y_1(x) é a fronteira superior e y_2(x) a inferior.

Passo 4

A área A da região fica
A = \int_{0}^{1} \bigl[y_1(x)-y_2(x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(2\sqrt{x} - 2x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1} 2x^{1/2}\,dx = 2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{4}{3},
\int_{0}^{1} 2x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}x^3\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}.
Portanto
A = \frac{4}{3} \;-\;\frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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