Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x - x^2. Encontre os pontos de interseção e esboce o gráfico da região.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos precisar determinar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular a área entre elas utilizando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas. Isso ocorre onde as duas equações são iguais, ou seja:

Passo 3

Resolvendo a equação , vamos juntar todos os termos do mesmo lado:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá as soluções:

Passo 5

Com os valores de , encontramos os respectivos valores de substituindo nas equações das curvas.
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de a . Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo.
Observando as equações:
Percebe-se que está acima de no intervalo considerado.

Passo 7

A área é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados