Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções y=x^{2} e y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \displaystyle y = x^2 e \displaystyle y = x + 2. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas, que se faz encontrando os pontos de interseção, determinando qual função fica acima e integrando a diferença entre as funções nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos em que as curvas se interceptam, resolvendo
x^2 = x + 2.
Isso leva à equação
x^2 - x - 2 = 0
cuja solução é
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima no intervalo [-1,2], avaliamos em um ponto interno, por exemplo x=0: \displaystyle y_{\text{parábola}} = 0^2 = 0á e \displaystyle y_{\text{reta}} = 0 + 2 = 2.
Como 2>0, a reta \displaystyle y = x + 2 fica acima de \displaystyle y = x^2 em todo o intervalo de -1 a 2.

Passo 4

A área A entre as curvas é dada por
A = \int_{x=-1}^{2} \bigl[\,(x + 2) - x^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, achamos um antiderivado de (x+2) - x^2:
\int \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} + C.
Agora avaliamos de -1 até 2:
\Bigl[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{2} = \Bigl(\frac{2^2}{2} + 2\cdot2 - \frac{2^3}{3}\Bigr) - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr).
Calculando cada parte:
\frac{2^2}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3},
\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.
Subtraindo,
\frac{10}{3} - \bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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