Determine se a integral imprópria a seguir converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a integral imprópria
ou seja, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor. O conteúdo envolvido é integral imprópria (definição via limite) e técnica de integração por partes.
Passo 2
Para ver se a integral converge, reescrevemos como limite de uma integral definida em
:
Passo 3
Agora calculamos
por integração por partes. Escolhemos
portanto
A fórmula diz
logo
Passo 4
Usando esse resultado no limite em
e em
, temos
Passo 5
Agora fazemos
. Sabemos que, quando
cresce muito,
. Então
Isso mostra que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e