Determine se a integral imprópria a seguir converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
\int_{0}^{\infty} x e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx
ou seja, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor. O conteúdo envolvido é integral imprópria (definição via limite) e técnica de integração por partes.

Passo 2

Para ver se a integral converge, reescrevemos como limite de uma integral definida em [0,b]:
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b} x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \int_{0}^{b} x\,e^{-x}\,dx por integração por partes. Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx
portanto
du = dx,\quad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
A fórmula diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
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\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)\,e^{-x} + C.

Passo 4

Usando esse resultado no limite em 0 e em b, temos
\int_{0}^{b} x\,e^{-x}\,dx = \Bigl[-(x+1)\,e^{-x}\Bigr]_{0}^{b} = \bigl[-(b+1)\,e^{-b}\bigr] - \bigl[-(0+1)\,e^{0}\bigr] = -(b+1)\,e^{-b} + 1.

Passo 5

Agora fazemos b\to\infty. Sabemos que, quando b cresce muito, (b+1)e^{-b}\to0. Então
\lim_{b\to\infty}\bigl[-(b+1)\,e^{-b} + 1\bigr] = 0 + 1 = 1.
Isso mostra que a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx = 1.

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