Encontre a assíntota horizontal de f quando x -> +infinito.

Passo 1

Beleza! O exercício está pedindo para a gente encontrar a assíntota horizontal da função f quando x vai para +infinito. Isso quer dizer que queremos saber qual valor a função se aproxima quando x fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador da função, caso ela seja uma função racional.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a função f(x) é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Por exemplo, .

Passo 3

Em seguida, vamos identificar o grau dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de x que aparece nele. No exemplo que dei, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 2 porque o maior expoente de x é 2.

Passo 4

Agora, vamos comparar os graus dos polinômios:
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é .
  • Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal (pode haver uma assíntota oblíqua).

Passo 5

Aplicando isso na prática:
  1. Grau do numerador < Grau do denominador:
    Então, a assíntota horizontal é .
  2. Grau do numerador = Grau do denominador:
    Onde a é o coeficiente do termo de maior grau no numerador e b é o do denominador. A assíntota horizontal será .
  3. Grau do numerador > Grau do denominador:
    Não há assíntota horizontal.

Passo 6

Então, para encontrar a assíntota horizontal da função f(x) quando , basta identificar qual desses casos se aplica à função específica que você tem. Calcule o limite conforme o caso e pronto!

Resposta

A assíntota horizontal de f quando é , onde L é o limite calculado com base no grau dos polinômios do numerador e denomindador de f(x) conforme explicado nos passos acima.

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