Encontre a assíntota horizontal de
quando
.
Passo 1
Beleza! O exercício está pedindo para a gente encontrar a assíntota horizontal da função
quando
vai para
. Isso quer dizer que queremos saber qual valor a função se aproxima quando
fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador da função, caso ela seja uma função racional.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a função
é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Por exemplo,
.
Passo 3
Em seguida, vamos identificar o grau dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele. No exemplo que dei, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 2 porque o maior expoente de
é 2.
Passo 4
Agora, vamos comparar os graus dos polinômios:
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é
. - Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal (pode haver uma assíntota oblíqua).
Passo 5
Aplicando isso na prática:
-
Grau do numerador < Grau do denominador:Então, a assíntota horizontal é
. -
Grau do numerador = Grau do denominador:Onde
é o coeficiente do termo de maior grau no numerador e é o do denominador. A assíntota horizontal será . -
Grau do numerador > Grau do denominador:
Não há assíntota horizontal.
Passo 6
Então, para encontrar a assíntota horizontal da função
quando
, basta identificar qual desses casos se aplica à função específica que você tem. Calcule o limite conforme o caso e pronto!
Resposta
A assíntota horizontal de
quando
é
, onde
é o limite calculado com base no grau dos polinômios do numerador e denomindador de
conforme explicado nos passos acima.