Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
e, com base nelas, esboçar o gráfico. Para isso vamos usar limites que indicam comportamentos em infinidades e pontos de não definição.
Passo 2
Para achar a assíntota vertical identificamos onde o denominador zera, pois aí a função tende a
. Resolvendo
vem
. Logo há uma assíntota vertical
Passo 3
Para a assíntota horizontal calculamos os limites quando
. Como grau do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais:
Portanto a assíntota horizontal é
Passo 4
Para entender o formato do gráfico, avaliamos também alguns pontos e comportamentos laterais. Por exemplo,
, então o gráfico cruza a origem. Ao nos aproximarmos de
pela direita
, o denominador é pequeno positivo e o numerador é negativo, logo
Pela esquerda
, o denominador é pequeno negativo e o numerador é negativo, então
Passo 5
Com as assíntotas
e
, o ponto de cruzamento em
e o comportamento em torno de
, temos duas ramas:
- Para
, a curva vem de perto de por baixo, sobe para ao se aproximar de . - Para
, a curva desce de e se aproxima do valor por cima conforme .
Esse esboço segue as assíntotas como guias.
Resposta
Assíntota vertical:
.
Assíntota horizontal: .
Assíntota horizontal: