Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
f(x)=\frac{x}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x}{x+4}
e, com base nelas, esboçar o gráfico. Para isso vamos usar limites que indicam comportamentos em infinidades e pontos de não definição.

Passo 2

Para achar a assíntota vertical identificamos onde o denominador zera, pois aí a função tende a \pm\infty. Resolvendo
x+4=0
vem x=-4. Logo há uma assíntota vertical
x=-4.

Passo 3

Para a assíntota horizontal calculamos os limites quando x\to\pm\infty. Como grau do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x+4} =\frac{1}{1}=1.
Portanto a assíntota horizontal é y=1.

Passo 4

Para entender o formato do gráfico, avaliamos também alguns pontos e comportamentos laterais. Por exemplo, f(0)=0, então o gráfico cruza a origem. Ao nos aproximarmos de x=-4 pela direita x\to -4^+, o denominador é pequeno positivo e o numerador é negativo, logo
f(x)\to -\infty.
Pela esquerda x\to -4^-, o denominador é pequeno negativo e o numerador é negativo, então
f(x)\to +\infty.

Passo 5

Com as assíntotas x=-4 e y=1, o ponto de cruzamento em (0,0) e o comportamento em torno de x=-4, temos duas ramas:
  • Para x<-4, a curva vem de perto de y=1 por baixo, sobe para +\infty ao se aproximar de -4.
  • Para x>-4, a curva desce de -\infty e se aproxima do valor y=1 por cima conforme x\to+\infty.
Esse esboço segue as assíntotas como guias.

Resposta

Assíntota vertical: x=-4.
Assíntota horizontal: y=1.

Exercícios relacionados