Exercício 30. Demonstre que todo polinômio de grau impar possui pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para provar que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
Conteúdo: polinômios, limites no infinito e Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante a existência de um zero de função contínua quando ela assume valores de sinais opostos.

Passo 2

Seja
P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,
onde n é ímpar e a_n\neq0. Como soma e produto de funções contínuas são contínuos, P é contínua em \mathbb{R}.

Passo 3

Estudamos o comportamento de P(x) quando x\to+\infty. O termo dominante é a_nx^n, logo
\lim_{x\to+\infty}P(x) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(a_nx^n+\dots\bigr) =\begin{cases} +\infty,&a_n>0,\\\\ -\infty,&a_n<0. \end{cases}

Passo 4

Agora, para x\to-\infty\), como \(n\) é ímpar vale \((-x)^n=-(x^n)\), temos \[\lim_{x\to-\infty}P(x) =\lim_{x\to-\infty}a_nx^n =a_n\lim_{t\to+\infty}(-t)^n =a_n\bigl(-\lim_{t\to+\infty}t^n\bigr) =-\begin{cases} +\infty,&a_n>0,\\\\ -\infty,&a_n<0. \end{cases}
Logo, \lim_{x\to-\infty}P(x)\] e \(\lim_{x\to+\infty}P(x) são infinitos com sinais opostos.

Passo 5

Escolha M>0 suficientemente grande para que P(-M) e P(M) tenham sinais opostos. Então P(-M)\cdot P(M)<0. Como P é contínua em [-M,M], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c\in[-M,M] tal que
P\text{(c)}=0.

Resposta

Todo polinômio de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

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