Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
y=\frac{2 x^{2}+x-1}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da função
y = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2},
além de um esboço do gráfico. O conteúdo é análise de função racional: vamos precisar achar domínio, zeros de numerador e denominador, analisar o grau dos polinômios para assíntota horizontal e estudar o comportamento em cada intervalo.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para encontrar domínio e possíveis simplificações.
2x^{2} + x - 1 = (2x - 1)(x + 1), \quad x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1).
Não há fator comum, então o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x \neq -2,\;x\neq 1\}.

Passo 3

Como não há cancelamento, cada raiz do denominador gera uma assíntota vertical. Logo
\text{Assíntotas verticais: }x = -2\quad\text{e}\quad x = 1.í

Passo 4

Os polinômios no numerador e denominador têm mesmo grau (grau 2), então existe assíntota horizontal em
y = \frac{\text{coeficiente de }x^2\text{ no numerador}}{\text{coeficiente de }x^2\text{ no denominador}} = \frac{2}{1} = 2.

Passo 5

Interceptos:
– Para intercepto em y, fazemos x=0:
y(0) = \frac{-1}{-2} = \tfrac12.
– Para interceptos em x, fazemos numerador zero:
2x^{2} + x - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac12,\;x = -1.

Passo 6

Para ver como a curva fica em relação a y=2, analisamos
f(x) - 2 = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2} - 2 = \frac{2x^{2} + x - 1 -2(x^{2}+x-2)}{x^{2}+x-2} = \frac{-x + 3}{(x+2)(x-1)}.
Montamos o sinal de \,f(x)-2 e de f(x) em cada intervalo do domínio:
Intervalo -\infty < x<-2: denomósito >0, numerador -x+3>0, logo f(x)-2>0 f(x)>2.
Intervalo -2<x<1: denomósito <0, numerador >0, logo f(x)-2<0 f(x)<2.
Intervalo 1<x<3: denomósito >0, numerador -x+3>0, logo f(x)-2>0 f(x)>2.
Intervalo x>3: denomósito >0, numerador -x+3<0, logo f(x)-2<0 f(x)<2.

Passo 7

Com tudo isso:
  • Em x\to -\infty, y\to2^+. Para x\to -2^-, y\to +\infty.
  • Em x\to -2^+, y\to -\infty; em x=0, y=\tfrac12; em x\to1^-, y\to -\infty.
  • Em x\to1^+, y\to+\infty; em x=3, y=2 (a curva cruza a assíntota horizontal); para x>3, y\to2^- conforme x\to+\infty.
Isso permite esboçar a curva em cada ramo, mostrando as assíntotas verticais x=-2, x=1 e a horizontal y=2, e os pontos notáveis (-\!1,0), (\tfrac12,0), (0,\tfrac12) e (3,2).

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=1.
Assíntota horizontal: y=2.
Esboço: quatro ramos conforme descrito no Passo 7, cruzando os pontos (-\!1,0), (\tfrac12,0), (0,\tfrac12) e (3,2).

Exercícios relacionados