Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da função
além de um esboço do gráfico. O conteúdo é análise de função racional: vamos precisar achar domínio, zeros de numerador e denominador, analisar o grau dos polinômios para assíntota horizontal e estudar o comportamento em cada intervalo.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador para encontrar domínio e possíveis simplificações.
Não há fator comum, então o domínio é
Passo 3
Como não há cancelamento, cada raiz do denominador gera uma assíntota vertical. Logo
Passo 4
Os polinômios no numerador e denominador têm mesmo grau (grau 2), então existe assíntota horizontal em
Passo 5
Interceptos:
– Para intercepto em , fazemos
:
– Para intercepto em
– Para interceptos em
, fazemos numerador zero:
Passo 6
Para ver como a curva fica em relação a
, analisamos
Montamos o sinal de
e de
em cada intervalo do domínio:
Intervalo
: denomósito
, numerador
, logo
⇒
.
Intervalo
: denomósito
, numerador
, logo
⇒
.
Intervalo
: denomósito
, numerador
, logo
⇒
.
Intervalo
: denomósito
, numerador
, logo
⇒
.
Passo 7
Com tudo isso:
- Em
, . Para , . - Em
, ; em , ; em , . - Em
, ; em , (a curva cruza a assíntota horizontal); para , conforme .
Isso permite esboçar a curva em cada ramo, mostrando as assíntotas verticais
,
e a horizontal
, e os pontos notáveis
,
,
e
.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal: .
Esboço: quatro ramos conforme descrito no Passo 7, cruzando os pontos ,
,
e
.
Assíntota horizontal:
Esboço: quatro ramos conforme descrito no Passo 7, cruzando os pontos