Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
y=\frac{1+x^{4}}{x^{2}-x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de
y = \frac{1 + x^4}{x^2 - x^4}
e um esboço do gráfico. Como se trata de uma função racional, vamos
  1. determinar o domínio e onde o denominador zera (possíveis assíntotas verticais),
  2. calcular o comportamento em x\to\pm\infty (assíntota horizontal),
  3. analisar os limites laterais em cada intervalo para desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e assíntotas verticais.
O denominador é
x^2 - x^4 = x^2(1 - x^2),
que zera em x=0 e x=\pm1. Em cada um desses pontos há descontinuidade infinita se o numerador for não nulo. Como 1 + x^4>0 para todo x, temos realmente assíntotas verticais em
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
Para confirmar o tipo de descontinuidade, examine os limites:
  • Em x\to0^\pm, x^2-x^4\sim x^2>0 e 1+x^4\sim1>0, logo
\lim_{x\to0^\pm}y=+\infty.
  • Em x\to1^-, x^2-x^4\to0^+ e numerador \to2, então y\to+\infty.
  • Em x\to1^+, x^2-x^4\to0^- e numerador \to2, então y\to-\infty.
    Pelo mesmo motivo, em x\to(-1)^\pm os limites são +\infty à esquerda de -1 e -\infty à direita de -1.

Passo 3

Assíntota horizontal.
Para x\to\pm\infty dividimos numerador e denominador por x^4:
y = \frac{1 + x^4}{x^2 - x^4} = \frac{x^4\bigl(1 + 1/x^4\bigr)}{x^4\bigl(1/x^2 - 1\bigr)} = \frac{1 + 1/x^4}{1/x^2 - 1}.
Como 1/x^2\to0 e 1/x^4\to0, fica
\lim_{x\to\pm\infty}y = \frac{1}{-1} = -1.
Logo há assíntota horizontal
y = -1.
Uma expansão para grandes x mostra que y = -1 - 1/x^2 + o(1/x^2), ou seja, a curva se aproxima de y=-1 por baixo.

Passo 4

Esboço do gráfico.
  1. A função é par, pois só aparecem potências pares de x.
  2. As assíntotas verticais dividem o domínio em quatro intervalos:
    (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1,\infty).
  3. Comportamento em cada intervalo:
  • Para |x|<1: o sinal de x^2 - x^4 é positivo, numerador positivo, então y>0. Em x\to0 e em x\to\pm1 a função tende a +\infty. Logo, em (0,1) (e simetricamente em (-1,0)) o ramo vai de +\infty em x\to0^+ até um mínimo interior e sobe novamente para +\infty em x\to1^-.
  • Para |x|>1: o denominador é negativo, numerador positivo, então y<0. Em x\to\pm1 os ramos tendem a -\infty, e em x\to\pm\infty aproximam-se de y=-1 por baixo.
O esboço final tem quatro ramos: dois internos positivos com “bordas” verticais em x=-1,0,1 e dois externos abaixo de y=-1, aproximando-se dessa linha horizontal.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0, x=1 e x=-1.
Assíntota horizontal: y=-1.
Esboço: quatro ramos simétricos, dois em (-1,0) e (0,1) com y\to+\infty nas bordas, e dois em (1,\infty) e (-\infty,-1) abaixo de y=-1, indo de -\infty em x\to\pm1 até aproximar-se de -1 em x\to\pm\infty.

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