Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de
e um esboço do gráfico. Como se trata de uma função racional, vamos
- determinar o domínio e onde o denominador zera (possíveis assíntotas verticais),
- calcular o comportamento em
(assíntota horizontal), - analisar os limites laterais em cada intervalo para desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio e assíntotas verticais.
O denominador é
O denominador é
que zera em
e
. Em cada um desses pontos há descontinuidade infinita se o numerador for não nulo. Como
para todo
, temos realmente assíntotas verticais em
Para confirmar o tipo de descontinuidade, examine os limites:
- Em
, e , logo
- Em
, e numerador , então . - Em
, e numerador , então .
Pelo mesmo motivo, emos limites são à esquerda de e à direita de .
Passo 3
Assíntota horizontal.
Para dividimos numerador e denominador por
:
Para
Como
e
, fica
Logo há assíntota horizontal
Uma expansão para grandes
mostra que
, ou seja, a curva se aproxima de
por baixo.
Passo 4
Esboço do gráfico.
- A função é par, pois só aparecem potências pares de
. - As assíntotas verticais dividem o domínio em quatro intervalos:
, , , . - Comportamento em cada intervalo:
- Para
: o sinal de é positivo, numerador positivo, então . Em e em a função tende a . Logo, em (e simetricamente em ) o ramo vai de em até um mínimo interior e sobe novamente para em . - Para
: o denominador é negativo, numerador positivo, então . Em os ramos tendem a , e em aproximam-se de por baixo.
O esboço final tem quatro ramos: dois internos positivos com “bordas” verticais em
e dois externos abaixo de
, aproximando-se dessa linha horizontal.
Resposta
Assíntotas verticais:
,
e
.
Assíntota horizontal: .
Esboço: quatro ramos simétricos, dois em e
com
nas bordas, e dois em
e
abaixo de
, indo de
em
até aproximar-se de
em
.
Assíntota horizontal:
Esboço: quatro ramos simétricos, dois em