Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem:
f(x)=2 x6 x^2+11 x-10 y=0, x=2 / 3, x=-5 / 2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=2x6x^2+11x-10. Vamos usar teoria de limites, raízes de polinômio e grau das funções racionais.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, precisamos encontrar onde o denominador zera, pois aí f(x) tende a infinito. Resolvendo
6x^2+11x-10=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
x=-11pmraiz11^2-4cdot6cdot(-10)2cdot6 =-11pmraiz121+24012 =-11pm1912

Passo 3

Isso dá duas soluções:
x=812=tfrac23 e x=-3012=-tfrac52

Passo 4

Como nesses valores o denominador vai a zero e o numerador não anula em ambos, concluímos que existem assíntotas verticais em x=tfrac23 e x=-tfrac52.

Passo 5

Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento de f(x) quando xtopminfty. Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), temos
limxtopminftyf(x)=0
Isso indica uma assíntota horizontal em y=0.

Resposta

As assíntotas são: y=0 (horizontal) e x=2/3, x=–5/2 (verticais).

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