Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem:
f(x)=2raizx^2-4 y=0, x=-2, x=2

Passo 1

O exercício pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=2raizx^2-4. O conteúdo envolve análise de domínio e limites para identificar onde a função tende a infinito (verticais) e o comportamento em xtopminfty (horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio. Precisamos que o radicando seja positivo: x^2-4>0. Isso ocorre quando x>2 ou x<-2. Logo, os pontos x=2 e x=-2 não estão no domínio e são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Para ver se em x=2 e x=-2 a função realmente explode, analisamos o limite em torno deles. Por exemplo, quando xto2^+, temos raizx^2-4to0^+, logo f(x)to+infty. De modo análogo, em xto-2^- (último ponto no domínio à esquerda de -2), também f(x)to+infty. Portanto, há assíntotas verticais em x=2 e x=-2.

Passo 4

Agora, para assíntotas horizontais, calculamos limxtoinftyf(x) e limxto-inftyf(x). Para grandes |x|, raizx^2-4approx|x|, de modo que f(x)approx2/|x|to0^+. Assim, existe a assíntota horizontal y=0.

Resposta

Assíntotas verticais: x=2 e x=-2. Assíntota horizontal: y=0.

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