Encontre os autovalores e autovetores associa dos aios seguintes tensores simétricos de segunda ordem:
d) \left(\begin{array}{ccc}1 & \sqrt{8} & 0 \\\ \sqrt{8} & 1 & \sqrt{8} \\\\ 0 & \sqrt{8} & 1\end{array}\right)

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pede: encontrar os autovalores e os autovetores associados do tensor simétrico (matriz) dado.
  • Matriz fornecida (peguei os números do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{8} & 0\\[4pt] \sqrt{8} & 1 & \sqrt{8}\\[4pt] 0 & \sqrt{8} & 1 \end{pmatrix}.
  • Objetivo explícito: determinar todos os \emph{autovalores} \lambda tais que existe um vetor não nulo v com A v = \lambda v, e para cada autovalor encontrar os correspondentes \emph{autovetores} v.]

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): como encontrar autovalores e autovetores.
  • Para autovalores usamos a equação característica \det(A-\lambda I)=0. Isso gera um polinômio em \lambda cujas raízes são os autovalores.
  • Para cada autovalor \lambda resolveremos o sistema linear (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores v. Como A é simétrica, podemos esperar autovalores reais e autovetores ortogonais.
  • Vou calcular o determinante explicitamente e fatorá-lo, o que facilita achar as raízes exatas.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I).
  • Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & \sqrt{8} & 0\\[4pt] \sqrt{8} & 1-\lambda & \sqrt{8}\\[4pt] 0 & \sqrt{8} & 1-\lambda \end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante por expansão na primeira linha (ou usando fórmula para matriz tridiagonal):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & \sqrt{8}\\[4pt]\sqrt{8} & 1-\lambda\end{pmatrix} - \sqrt{8}\det\begin{pmatrix}\sqrt{8} & \sqrt{8}\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
  • Avaliando os menores:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & \sqrt{8}\\[4pt]\sqrt{8} & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-(\sqrt{8})^2=(1-\lambda)^2-8,
\det\begin{pmatrix}\sqrt{8} & \sqrt{8}\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=\sqrt{8}\,(1-\lambda).
  • Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-8\bigr)-\sqrt{8}\,\bigl(\sqrt{8}(1-\lambda)\bigr).
  • Como \sqrt{8}\cdot\sqrt{8}=8, recolhendo fator comum (1-\lambda):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-8-8\bigr)=(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-16\bigr).
  • Reconhecendo uma diferença de quadrados:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)-4\bigr)\bigl((1-\lambda)+4\bigr).]

Passo 4

Determinação dos autovalores a partir da fatoração.
Das três fatores seguem as equações:
  • 1-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1.
  • (1-\lambda)-4=0 \Rightarrow 1-\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -3.
  • (1-\lambda)+4=0 \Rightarrow 1-\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = 5.
Portanto os autovalores são \lambda=5,\; \lambda=1,\; \lambda=-3.

Passo 5

Autovetor associado a [\lambda=5).
  • Escrevo (A-5I)v=0. A matriz A-5I é
A-5I=\begin{pmatrix} -4 & \sqrt{8} & 0\\[4pt] \sqrt{8} & -4 & \sqrt{8}\\[4pt] 0 & \sqrt{8} & -4 \end{pmatrix}.
  • Seja v=(x,y,z)^\top. O sistema linear é
\begin{cases} -4x + \sqrt{8}\,y = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,x -4y + \sqrt{8}\,z = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,y -4z = 0. \end{cases}
  • Da primeira equação:
\sqrt{8}\,y = 4x \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{4}{\sqrt{8}}x.
Como \sqrt{8}=2\sqrt{2}\], temos \(\dfrac{4}{\sqrt{8}}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Logo y=\sqrt{2}\,x.
  • Da terceira equação:
\sqrt{8}\,y = 4z \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{\sqrt{8}}{4}y.
Substituindo y=\sqrt{2}\,x e \sqrt{8}=2\sqrt{2}:
z=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}\cdot\sqrt{2}\,x=\dfrac{2\cdot 2}{4}x = x.
  • Verificação na segunda equação confirma consistência. Assim um autovetor (não normalizado) é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Se quiser normalizar, o seu comprimento é \sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2. O autovetor normalizado fica
\hat v_1=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Autovetor associado a [\lambda=1).
  • Escrevo (A-I)v=0. A matriz A-I é
A-I=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{8} & 0\\[4pt] \sqrt{8} & 0 & \sqrt{8}\\[4pt] 0 & \sqrt{8} & 0 \end{pmatrix}.
  • Sistema para v=(x,y,z)^\top:
\begin{cases} \sqrt{8}\,y = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,x + \sqrt{8}\,z = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,y = 0. \end{cases}
  • Das primeiras/últimas equações segue y=0\]. Da segunda: \(x+z=0\Rightarrow z=-x.
  • Logo um autovetor (não normalizado) é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Normalizando: norma \sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}, então
\hat v_2=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Autovetor associado a [\lambda=-3).
  • Escrevo (A+3I)v=0. A matriz A+3I é
A+3I=\begin{pmatrix} 4 & \sqrt{8} & 0\\[4pt] \sqrt{8} & 4 & \sqrt{8}\\[4pt] 0 & \sqrt{8} & 4 \end{pmatrix}.
  • Sistema para v=(x,y,z)^\top:
\begin{cases} 4x + \sqrt{8}\,y = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,x + 4y + \sqrt{8}\,z = 0,\\[4pt] \sqrt{8}\,y + 4z = 0. \end{cases}
  • Da primeira equação:
\sqrt{8}\,y = -4x \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{4}{\sqrt{8}}x = -\sqrt{2}\,x.
  • Da terceira equação, substituindo y=-\sqrt{2}\,x\], obtemos \(z=x. A segunda confirma essa relação.
  • Assim um autovetor (não normalizado) é
v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Normalizando: norma \sqrt{1+2+1}=2, então
\hat v_3=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Breve verificação (conforto): como A é simétrica, autovetores associados a autovalores distintos devem ser ortogonais. Checando os produtos escalar entre os vetores normalizados:
\hat v_1\cdot\hat v_2 = \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0,
\hat v_1\cdot\hat v_3 = \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}=0,
e assim por diante — fica consistente.

Resposta

\lambda=5,\; v=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{1}{2}\right)\n
\lambda=1,\; v=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\n
\lambda=-3,\; v=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{1}{2}\right)

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