Pergunta: encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada \lambda, encontrar vetores não nulos v tais que
T v = \lambda v.]
Passo 2
Vamos lembrar o que é preciso fazer (sem resolver ainda): um autovalor \lambda e um autovetor v satisfazem a equação T v=\lambda v. Isso é equivalente ao sistema linear homogêneo
\bigl(T-\lambda I\bigr)v=0,
que tem solução não trivial exatamente quando \det(T-\lambda I)=0. Esse determinante em função de \lambda chama-se polinômio característico e suas raízes são os autovalores. Para matrizes simétricas (como esta) os autovalores são reais e podemos escolher autovetores ortogonais entre si — isso é útil para construir uma base.
Antes de calcular determinantemente, vale tentar observar alguma estrutura da matriz que facilite a tarefa (às vezes é bem mais curto do que calcular um determinante 3×3 inteiro).
Passo 3
Observação útil sobre a estrutura de T. Defina a matriz J toda de uns:
Essa decomposição é muito prática porque conhecemos bem a matriz J: ela tem posto 1 e age multiplicando qualquer vetor pelo somatório de suas componentes.
Agora uma propriedade do J: para u=(u_1,u_2,u_3)^T tem-se
J u = \bigl(u_1+u_2+u_3\bigr)\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Dessa forma:
J(1,1,1)^T=3(1,1,1)^T, ou seja, \mu=3 é um autovalor de J com autovetor (1,1,1)^T.
Se u_1+u_2+u_3=0 então J u=0, ou seja, \mu=0 é autovalor de J com multiplicidade 2 (o subespaço de soma zero tem dimensão 2).]
Passo 4
Usando T=5I-J, os autovalores de T são 5-\mu onde \mu percorre os autovalores de J. Como vimos, os autovalores de J são 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2). Logo os autovalores de T são:
Agora achar os autovetores correspondentes explicitamente.
Para \lambda_1=2: queremos T v = 2 v. Pela relação T=5I-J isso é equivalente a (5I-J)v=2v, ou seja (5-2)v = J v, então 3 v = J v. Como J v é proporcional a (1,1,1)^T, deduzimos que v deve ser proporcional a (1,1,1)^T. Verificação direta:
Portanto um autovetor associado a \lambda=2 é v^{(1)}=(1,1,1)^T. (Qualquer múltiplo não nulo serve.)
Para \lambda_2=5: queremos T v = 5 v. Isso é equivalente a (T-5I)v=0. Calculando T-5I obtemos a matriz cujas entradas são todas -1 (pois 4-5=-1 na diagonal e off-diagonal é -1). Assim
(T-5I)v = -J v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad J v = 0.
Portanto os autovetores para \lambda=5 são exatamente os vetores v=(v_1,v_2,v_3)^T com
v_1+v_2+v_3=0.
Qualquer base de dimensão 2 desse subespaço serve. Dois vetores linearmente independentes com soma zero são, por exemplo,
onde as duas últimas têm soma zero e são mutuamente ortogonais (verificação rápida dos produtos internos).]
Passo 6
Resumo do raciocínio (curto): reconheceu-se T=5I-J, usou-se a estrutura de J (autovalor 3 com vetor (1,1,1)^T e autovalor 0 com subespaço soma-zero) e subtraiu-se de 5 para obter os autovalores de T; em seguida escreveu-se o espaço de autovetores correspondente.
Resposta
\lambda=2: autovetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
\lambda=5: autovetores são todos os vetores \begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\\[2pt]v_3\end{pmatrix} com v_1+v_2+v_3=0. Dois vetores linearmente independentes possíveis são \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]