Encontre os autovalores do sistema dado.

  1. x^prime=(ll1 & -5 1 & -3) x, x(0)=binom11

Passo 1

Temos um sistema linear de EDO da forma x′=Ax com
A=1 & -51 & -3, x(0)=binom11
O que a gente quer aqui são os autovalores de A, ou seja, as raízes do polinômio característico det(A−λI)=0.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, escrevemos A−λI e igualamos seu determinante a zero:
A-lambda I=1-lambda & -51 & -3-lambda,
precisamos então de
det(A-lambda I)=0

Passo 3

Agora calculamos o determinante:
det1-lambda & -51 & -3-lambda=(1-lambda)(-3-lambda)-(-5)cdot1
Expandindo, temos
(1-lambda)(-3-lambda)=lambda^2+2lambda-3
e portanto
lambda^2+2lambda-3+5=lambda^2+2lambda+2

Passo 4

O polinômio característico fica
lambda^2+2lambda+2=0
Para achar as raízes, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
lambda=-2pmraiz2^2-4cdot1cdot22cdot1=-2pmraiz-42=-2pm2,i2

Passo 5

Logo os autovalores são números complexos conjugados:

Passo 6

O sistema tem
lambda1=-1+i, lambda2=-1-i

Resposta

lambda1=-1+i e lambda2=-1-i

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