Encontre \bar{x} tal que f(\bar{x})=2 pela tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72

Resolução:

Fazendo interpolação linear por x_{0}=0,6 e x_{1}=0,7 :
P_{1}(x)=f\left(x_{0}\right) \cdot \frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}+f\left(x_{1}\right) \cdot \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}
P_{1}(x)=
\bar{x}=
\_\_\_\_ .

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar \bar{x} tal que f(\bar{x})=2.
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1,0\\hline f(x) & 1,65 & 1,82 & 2,01 & 2,23 & 2,46 & 2,72 \end{array}
O enunciado indica usar interpolação linear com x_{0}=0,6 e x_{1}=0,7.

Passo 2

O que é interpolação linear e por que usar aqui.
Interpolação linear entre dois pontos (x_{0},f(x_{0})) e (x_{1},f(x_{1})) constrói a reta que passa por esses pontos e usa essa reta para estimar valores intermediários de f. A fórmula da reta (forma de mistura) é:
P_{1}(x)=f(x_{0})\cdot\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}+f(x_{1})\cdot\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Explicando as variáveis: x_{0} e x_{1} são as abscissas dos dois pontos conhecidos; f(x_{0}) e f(x_{1}) são os valores da função nesses pontos; P_{1}(x) é o valor estimado pela reta no ponto x.
Uma forma equivalente, às vezes mais prática, usa a inclinação m:
m=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}},\qquad P_{1}(x)=f(x_{0})+m\,(x-x_{0}).
Escolhemos \,x_{0}=0,6 e \,x_{1}=0,7 porque, olhando a tabela, f(0,6)=1,82<2 e f(0,7)=2,01>2: esses pontos cercam o valor alvo 2, então a solução está entre eles.

Passo 3

Calcular a inclinação m usando os valores da tabela (peguei f(x_{0})=1,82 e f(x_{1})=2,01 da tabela):
m=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}=\frac{2,01-1,82}{0,7-0,6}=\frac{0,19}{0,1}=1,9.
Observação prática: dividir por 0,1 é como deslocar a vírgula uma casa, por isso 0,19/0,1=1,9.

Passo 4

Escrever P_{1}(x) usando a forma com a inclinação e substituir os valores conhecidos:
P_{1}(x)=f(x_{0})+m\,(x-x_{0})=1,82+1,9\,(x-0,6).

Passo 5

Agora impor P_{1}(x)=2 e resolver para x:
1,82+1,9\,(x-0,6)=2.
Subtraindo 1,82 de ambos os lados:
1,9\,(x-0,6)=0,18.
Dividindo por 1,9:
x-0,6=\frac{0,18}{1,9}.
Simplificando a fração:
\frac{0,18}{1,9}=\frac{18}{190}=\frac{9}{95}.
Logo
x=0,6+\frac{9}{95}.
Escrevendo 0,6 como fração com denominador 95: 0,6=\frac{3}{5}=\frac{57}{95}. Assim
x=\frac{57}{95}+\frac{9}{95}=\frac{66}{95}.
Em forma decimal:
\frac{66}{95}\approx 0,69473684\ldots

Passo 6

Checagem rápida (para ver que bate): substituir x\approx0,69473684 em P_{1}(x)=1,82+1,9(x-0,6) 1,82+1,9\cdot0,09473684\approx1,82+0,18=2. Beleza — bate certinho.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{66}{95}\approx 0,69473684

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