Encontre uma base e a dimensão para cada subespaço:
W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y=0, z-w=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o subconjunto W de \mathbb{R}^4:
  • Encontrar uma base para W.
  • Determinar a dimensão de W.
As informações fornecidas são as equações que definem W:
x+y=0,\qquad z-w=0,
onde (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4.

Passo 2

Interpretando as equações dadas: cada uma é uma restrição linear nas coordenadas. Vou isolar algumas coordenadas em função de outras para parametrizar todos os vetores de W.
Da equação x+y=0 segue que
y=-x.
Da equação z-w=0 segue que
w=z.

Passo 3

Agora escrevo um vetor genérico de W em termos de parâmetros livres. Escolho tomar x e z como parâmetros livres (isso é natural porque cada equação eliminou uma variável):
(x,y,z,w) = (x,-x,z,z).
Para destacar os parâmetros, chamo x=t e z=s, com t,s\in\mathbb{R}. Assim
(x,y,z,w) = (t,-t,s,s).

Passo 4

Escrevo a expressão anterior como combinação linear dos vetores que acompanham t e s:
(t,-t,s,s) = t\,(1,-1,0,0) + s\,(0,0,1,1).
Isto mostra que todo vetor de W é uma combinação linear dos dois vetores (1,-1,0,0) e (0,0,1,1).

Passo 5

Verifico que esses dois vetores realmente pertencem a W:
  • Para (1,-1,0,0): 1+(-1)=0 e 0-0=0, logo satisfazem as equações e estão em W.
  • Para (0,0,1,1): 0+0=0 e 1-1=0, logo também estão em W.
Portanto os vetores estão no subespaço.

Passo 6

Mostro que os dois vetores são linearmente independentes. Suponha que exista a,b\in\mathbb{R} tal que
a\,(1,-1,0,0)+b\,(0,0,1,1) = (0,0,0,0).
Isso dá o sistema de equações coordenada a coordenada:
a=0,\qquad -a=0,\qquad b=0,\qquad b=0.
Da primeira equação vem a=0; das terceira e quarta vem b=0. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é a=b=0, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como os vetores (1,-1,0,0) e (0,0,1,1) pertencem a W, geram W (Passo 4) e são linearmente independentes (Passo 6), eles formam uma base de W.
O número de vetores dessa base é 2, portanto a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base é \{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.
\dim(W)=2.

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