Encontre uma base e a dimensão para cada subespaço:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o subconjunto
de
:
- Encontrar uma base para
. - Determinar a dimensão de
.
As informações fornecidas são as equações que definem
:
onde
.
Passo 2
Interpretando as equações dadas: cada uma é uma restrição linear nas coordenadas. Vou isolar algumas coordenadas em função de outras para parametrizar todos os vetores de
.
Da equação
segue que
Da equação
segue que
Passo 3
Agora escrevo um vetor genérico de
em termos de parâmetros livres. Escolho tomar
e
como parâmetros livres (isso é natural porque cada equação eliminou uma variável):
Para destacar os parâmetros, chamo
e
, com
. Assim
Passo 4
Escrevo a expressão anterior como combinação linear dos vetores que acompanham
e
:
Isto mostra que todo vetor de
é uma combinação linear dos dois vetores
e
.
Passo 5
Verifico que esses dois vetores realmente pertencem a
:
- Para
: e , logo satisfazem as equações e estão em . - Para
: e , logo também estão em .
Portanto os vetores estão no subespaço.
Passo 6
Mostro que os dois vetores são linearmente independentes. Suponha que exista
tal que
Isso dá o sistema de equações coordenada a coordenada:
Da primeira equação vem
; das terceira e quarta vem
. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é
, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como os vetores
e
pertencem a
, geram
(Passo 4) e são linearmente independentes (Passo 6), eles formam uma base de
.
O número de vetores dessa base é
, portanto a dimensão de
é
.
Resposta
Uma base é
.
.