Seja
e
. Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios com coeficientes reais de grau no máximo
) e o conjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Elementos de
são polinômios com . - A condição para pertencer a
é que o polinômio e sua derivada se anulam em : e .
Passo 2
Vou lembrar a definição prática de subespaço vetorial (isso é básico, mas importante): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero de ; -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou usar exatamente essas três propriedades para verificar
. (Outra abordagem equivalente — que também vou mostrar depois — é escrever
como núcleo de um mapa linear.)
Passo 3
Verificar que o polinômio zero pertence a
.
O polinômio zero
(identicamente nulo) pertence a
. Para ele temos
e
. Logo
. Portanto a primeira condição (não vazio / contém o zero) está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por soma: se
então
.
Se
então por hipótese
,
,
e
. Usando que avaliação e derivada são lineares (explico isso abaixo), temos:
Para a avaliação em
:
Para a derivada em
, usando linearidade da derivada:
Portanto
satisfaz as duas condições e
. Assim
é fechado por soma.
Breve explicação (didática) sobre linearidade usada acima:
- A avaliação em um ponto fixo
, ou seja o operador dado por , é linear porque . - A derivação
dada por é linear porque . - A composição de avaliar a derivada em
, isto é com , também é linear.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar: se
e
então
.
Se
então
e
. Para
temos:
porque avaliação e derivada são lineares em escalares. Então
. Assim
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão direta a partir dos passos anteriores.
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Passo 7
(Método alternativo, útil para intuição e que costuma aparecer em provas.) Mostrar que
é o núcleo de um mapa linear.
Defina
por
Pela linearidade da avaliação e da derivada, o operador
é linear. Então
Como o núcleo de um operador linear é sempre um subespaço vetorial, isso mostra novamente que
é subespaço.
Passo 8
(Caracterização e dimensão — extra para aprender algo prático na prova.)
Da condição
e
segue que
é raiz de multiplicidade pelo menos
de
. Ou seja, existe
tal que
e como
resulta
. Portanto
Isto dá uma base natural: tomar uma base de
, por exemplo
, e multiplicar por
. Assim uma base de
é
logo
. (Isso é útil se precisar de dimensão ou uma base na prova.)
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.