Seja W=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}): p(1)=0\right. e \left.p^{\prime}(1)=0\right\}. Verifique se W é um subespaço de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) (polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 4) e o conjunto
W=\{p\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : p(1)=0\\ \text{e}\\ p'(1)=0\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Elementos de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) são polinômios p(x) com \deg p\le 4.
  • A condição para pertencer a W é que o polinômio e sua derivada se anulam em x=1: p(1)=0 e p'(1)=0.

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de subespaço vetorial (isso é básico, mas importante): um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. U contém o vetor zero de V;
  2. U é fechado sob soma: se u,v\in U então u+v\in U;
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in U.
Vou usar exatamente essas três propriedades para verificar W. (Outra abordagem equivalente — que também vou mostrar depois — é escrever W como núcleo de um mapa linear.)

Passo 3

Verificar que o polinômio zero pertence a W.
O polinômio zero 0(x) (identicamente nulo) pertence a \mathcal{P}_4(\mathbb{R}). Para ele temos 0(1)=0 e (0)'(1)=0. Logo 0(x)\in W. Portanto a primeira condição (não vazio / contém o zero) está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por soma: se p,q\in W então p+q\in W.
Se p,q\in W então por hipótese p(1)=0, q(1)=0, p'(1)=0 e q'(1)=0. Usando que avaliação e derivada são lineares (explico isso abaixo), temos:
Para a avaliação em 1:
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0.
Para a derivada em 1, usando linearidade da derivada:
(p+q)'(1)=p'(1)+q'(1)=0+0=0.
Portanto p+q satisfaz as duas condições e p+q\in W. Assim W é fechado por soma.
Breve explicação (didática) sobre linearidade usada acima:
  • A avaliação em um ponto fixo a, ou seja o operador E_a:\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\to\mathbb{R} dado por E_a(p)=p(a), é linear porque E_a(\alpha p+\beta q)=\alpha p(a)+\beta q(a).
  • A derivação D:\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) dada por D(p)=p' é linear porque (\alpha p+\beta q)'=\alpha p'+\beta q'.
  • A composição de avaliar a derivada em a, isto é E_a\circ D com (E_a\circ D)(p)=p'(a), também é linear.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar: se p\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda p\in W.
Se p\in W então p(1)=0 e p'(1)=0. Para \lambda p temos:
(\lambda p)(1)=\lambda p(1)=\lambda\cdot 0=0,
(\lambda p)'(1)=\lambda p'(1)=\lambda\cdot 0=0,
porque avaliação e derivada são lineares em escalares. Então \lambda p\in W. Assim W é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão direta a partir dos passos anteriores.
Como W contém o polinômio zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}).

Passo 7

(Método alternativo, útil para intuição e que costuma aparecer em provas.) Mostrar que W é o núcleo de um mapa linear.
Defina T:\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2 por
T(p)=(p(1),\,p'(1)).
Pela linearidade da avaliação e da derivada, o operador T é linear. Então
W=\ker T=\{p\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}):T(p)=(0,0)\}.
Como o núcleo de um operador linear é sempre um subespaço vetorial, isso mostra novamente que W é subespaço.

Passo 8

(Caracterização e dimensão — extra para aprender algo prático na prova.)
Da condição p(1)=0 e p'(1)=0 segue que x=1 é raiz de multiplicidade pelo menos 2 de p(x). Ou seja, existe q(x)\in\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) tal que
p(x)=(x-1)^2 q(x),
e como \deg p\le 4 resulta \deg q\le 2. Portanto
W=(x-1)^2\mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
Isto dá uma base natural: tomar uma base de \mathcal{P}_2(\mathbb{R}), por exemplo \{1,x,x^2\}, e multiplicar por (x-1)^2. Assim uma base de W é
\{(x-1)^2,\\ (x-1)^2 x,\\ (x-1)^2 x^2\},
logo \dim W=3. (Isso é útil se precisar de dimensão ou uma base na prova.)

Resposta

Sim. W é um subespaço de \mathcal{P}_4(\mathbb{R}).

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