Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços 
  e 
  para a transformação linear 
 , definida por 
 , em que
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão de dois subespaços relacionados à transformação linear 
 , definida por 
 , onde 
  é uma matriz específica. O conteúdo envolvido aqui é transformação linear, núcleo (ou nulidade) e imagem (ou alcance) de uma transformação. Vamos precisar entender como essas coisas funcionam para encontrar a base e a dimensão de 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo 
 . O núcleo de 
  é o conjunto de todas as matrizes 
  tais que 
 . Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes que comutam com 
 .
Passo 3
Vamos escrever uma matriz genérica 
  em 
 :
Agora, vamos calcular 
  e 
 :
Passo 4
Agora, vamos calcular 
 :
[
T(X) = 
=
=
]
Passo 5
Para que 
  esteja no núcleo 
 , precisamos que 
 , ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da equação (1) e (3), temos que 
 .
Da equação (2), simplificando por 2, 
 .
Portanto, as matrizes no núcleo têm a forma:
Onde 
  e 
  são números reais livres.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para 
 . As matrizes no núcleo são determinadas pelos parâmetros 
  e 
 . Podemos expressar 
  como uma combinação linear de duas matrizes básicas:
Então, uma base para 
  é:
A dimensão de 
  é igual ao número de vetores na base, que é 2.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem 
 . A imagem de 
  é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como 
  para algum 
  em 
 .
Observando a forma de 
  que encontramos:
Podemos reescrever isso separando os termos:
Como 
 , 
  e 
  são variáveis livres, notamos que a imagem é gerada pelas matrizes:
No entanto, a terceira matriz é apenas um múltiplo da segunda, então não adiciona nada novo à base.
Passo 8
Portanto, uma base para 
  é:
A dimensão de 
  é 2, já que temos duas matrizes na base.
Resposta
A base de 
  é:
Com dimensão igual a 2.
A base de 
  é:
Com dimensão igual a 2.