Seja 
  uma transformação linear.
(a) Suponha que 
  é LI, mas 
  é LD. Mostre que 
  tem uma solução não-trivial.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre 
  : se 
  é LI então 
  é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(a) Suponha que
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear 
 . Na parte (a), a gente sabe que dois vetores 
  e 
  são linearmente independentes em 
 , mas quando aplicamos 
  nesses vetores, 
  e 
  acabam sendo linearmente dependentes. A ideia aqui é mostrar que a equação 
  tem uma solução não-trivial (ou seja, além da solução trivial 
 ).
Já na parte (b), a afirmação diz que se um conjunto de vetores 
  é linearmente independente, então após aplicar 
  nesses vetores, o conjunto 
  também será linearmente independente. Precisamos descobrir qual condição precisamos colocar para que isso seja verdade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Dois vetores 
  e 
  são linearmente independentes se a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial, ou seja, 
  implica que 
  e 
 .
Agora, se aplicamos 
  nesses vetores e obtemos 
  e 
  que são linearmente dependentes, isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero: 
 , onde pelo menos um dos coeficientes 
  ou 
  é diferente de zero.
Passo 3
Já que 
  é uma transformação linear, podemos usar a propriedade de linearidade: 
 . Então, a equação 
  implica que 
 .
Como 
  e 
  não são ambos zero (porque 
  e 
  são dependentes linearmente), temos uma combinação não trivial de 
  e 
  que é mapeada para zero por 
 . Ou seja, 
  é uma solução não-trivial para 
 .
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). A afirmação quer dizer que se temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes antes de aplicar 
 , eles permanecem independentes depois de aplicar 
 . Para que isso seja sempre verdade, precisamos que o único vetor que 
  mapeia para zero seja o vetor zero em 
 . Isso significa que 
  precisa ser injetora (ou seja, \emph{injetividade}).
Em termos de teoria, uma transformação linear 
  é injetora se e somente se o núcleo (espaço nulo) de 
  contém apenas o vetor zero. Isso garante que nenhuma combinação não trivial de vetores em 
  é mapeada para zero em 
 , preservando a independência linear dos conjuntos de vetores após a aplicação de 
 .
Resposta
(a) A equação 
  tem uma solução não-trivial, que é 
 , onde 
  e 
  não são ambos zero.
(b) A hipótese necessária é que a transformação linear 
  seja injetora, ou seja, que o núcleo de 
  contenha somente o vetor zero. Isso garante que conjuntos de vetores linearmente independentes permaneçam independentes após a aplicação de 
 .