O sistema é homogêneo (termos independentes todos zeros).
Tem 7\] equações e \(5 incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5.
Método escolhido: eliminação de Gauss (redução por linhas) para achar uma forma escalonada, identificar pivôs e, assim, a dimensão do espaço solução W e sua base. (Explico o método passo a passo nos próximos passos.)]
Passo 2
Construir a matriz de coeficientes do sistema (sem coluna de termos independentes, porque é homogêneo). A matriz A é 7\times5; escrevo-a em forma de linhas correspondendo às equações dadas:
Breve lembrete didático: eliminar por linhas significa usar operações do tipo R_i\leftarrow R_i + k R_j para zerar entradas abaixo (e depois acima) dos pivôs, aproximando a matriz de uma forma triangular ou da forma reduzida por linhas. Cada pivô não-nulo corresponde a uma variável básica (não-livre). O número de pivôs = posto da matriz = número de variáveis básicas. A dimensão do espaço solução (núcleo) é n-\text{posto}, onde n é o número de incógnitas.]
Passo 3
Começo a eliminação com a primeira coluna (uso R_1 como pivô). Faço as operações para zerar as entradas abaixo do pivô da primeira linha:
Explicação: as linhas 4,5,6,7 ficaram com zeros nas três primeiras colunas e têm entradas nas colunas 4 e 5; isso indica que a eliminação está concentrada agora nessas colunas.]
Passo 6
Escolho a linha 7 como pivô para a coluna 4 porque ela tem coeficiente simples -2. Escalo para obter pivô 1:
Interpretação imediata: as últimas três linhas agora são da forma (0,0,0,0,c) com c\neq 0. Cada uma dessas linhas representa uma equação do tipo c\,x_5=0. Como pelo menos uma dessas constantes é não nula, isso força x_5=0. Isso é importante: variável x_5 não é livre — é forçada a ser zero.]
Passo 7
Como temos uma linha com apenas a coluna 5 não nula (R_5 com -8 por exemplo), podemos escalar essa linha para obter o pivô em x_5. Faço R_5 \leftarrow -\tfrac{1}{8}R_5, obtendo R_5=(0,0,0,0,1). Em seguida, uso esse pivô para zerar a coluna 5 nas demais linhas:
Comentário didático: agora a matriz de coeficientes reduziu, nas primeiras cinco linhas não-nulas, a uma forma triangular que já mostra pivôs em todas as colunas 1 a 5. As últimas duas linhas são nulas (linhas redundantes/compatíveis). Isso indica que o posto \text{rank}(A)=5 (há 5 pivôs) — ou seja, as cinco variáveis são todas variáveis básicas (nenhuma livre).]
Passo 8
Continuo a reduzir para a forma reduzida por linhas (RREF) para deixar explícitos os pivôs isolados. A partir da matriz anterior, elimino as entradas acima dos pivôs das colunas 2 e 3:
Interpretação final: os pivôs ocupam as cinco colunas correspondentes às variáveis x_1,x_2,x_3,x_4,x_5. O posto da matriz é 5. Como o número de incógnitas é n=5, a dimensão do espaço solução (núcleo) é
\dim(W)=n-\operatorname{rank}(A)=5-5=0.]
Passo 9
Conclusão e interpretação didática final:
A única solução do sistema homogêneo é a solução trivial x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0. Isso acontece porque a matriz tem posto máximo (igual ao número de incógnitas).
O espaço solução W é o subespaço \{0\} (apenas o vetor zero).
Uma observação de prova: quando todas as colunas são pivôs não há variáveis livres; portanto não existem vetores não nulos no núcleo.