Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W de cada um dos sistemas homogêneos dados:
x_{1}-4 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=0
x_{1}+3 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=0
x_{1}+4 x_{2}+11 x_{3}-2 x_{4}=0
x_{1}+7 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\) e quatro equações:
\[\begin{cases} x_{1}-4 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+3 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+4 x_{2}+11 x_{3}-2 x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+7 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0. \end{cases}
O que é pedido:
Encontrar uma base do espaço solução W=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid Ax=0\}\].
- Determinar a dimensão de \(W.
Informações relevantes dadas:
São quatro equações lineares homogêneas em quatro incógnitas.
O sistema pode ser escrito na forma matricial A x=0 onde A é a matriz dos coeficientes e x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.]
Passo 2
Vou escrever a matriz dos coeficientes \,A e o vetor incógnita \,x:
Explicando rápido: resolver Ax=0 significa achar todos os vetores x que, ao multiplicar por A, dão o vetor nulo. Para isso uso eliminação de Gauss (operações elementares por linhas que preservam o conjunto de soluções).]
Passo 3
Primeira rodada de eliminação: zerar as entradas na coluna 1 abaixo da primeira linha. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}. Isso não altera as soluções. A matriz fica:
Agora uso a segunda linha como pivô para zerar as entradas da coluna 2 abaixo dela. As operações são R_{3}\leftarrow R_{3}-\dfrac{8}{7}R_{2} e R_{4}\leftarrow R_{4}-\dfrac{11}{7}R_{2}. Calculando cada entrada (explico cada cálculo brevemente):
Para R_{3}: a terceira entrada da nova linha 3 é 10-\dfrac{8}{7}\cdot7=10-8=2. A quarta entrada é 2-\dfrac{8}{7}\cdot3=2-\dfrac{24}{7}=\dfrac{14-24}{7}=-\dfrac{10}{7}.
Para R_{4}: a terceira entrada da nova linha 4 é 1-\dfrac{11}{7}\cdot7=1-11=-10. A quarta entrada é 1-\dfrac{11}{7}\cdot3=1-\dfrac{33}{7}=\dfrac{7-33}{7}=-\dfrac{26}{7}.
Agora uso a terceira linha (pivo na coluna 3) para eliminar a entrada da linha 4 na mesma coluna. A operação conveniente é R_{4}\leftarrow R_{4}+5R_{3} porque -10 + 5\cdot 2 = 0. Calculo a quarta entrada da nova linha 4:
Interpretação do resultado: na forma triangular obtivemos quatro linhas não-nulas; em cada coluna aparece um pivô (um elemento não nulo na diagonal): nas colunas 1,2,3,4 respectivamente. Isso significa que a matriz A tem posto (rank) igual a 4. Explico porque:
O posto de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
Cada linha não-nula na forma escalonada corresponde a um pivô; aqui há quatro pivôs, logo posto =4.
Para um sistema homogêneo com n variáveis (n=4 aqui), a dimensão do espaço solução (o núcleo/nullspace) satisfaz a relação
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A).
Substituindo n=4 e \operatorname{rank}(A)=4 obtemos
\dim(W)=4-4=0.
Dimensão zero significa que apenas a solução trivial existe, isto é W=\{0\} onde 0 é o vetor nulo.
Passo 7
Conclusão sobre a base: o único vetor solução é o vetor nulo. A base do espaço nulo (espaço solução) é o conjunto vazio \varnothing (por convenção a base do espaço zero é vazia) e a dimensão é 0.