Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W de cada um dos sistemas homogêneos dados:
x_{1}-4 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=0
x_{1}+3 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=0
x_{1}+4 x_{2}+11 x_{3}-2 x_{4}=0
x_{1}+7 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\) e quatro equações: \[\begin{cases} x_{1}-4 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+3 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+4 x_{2}+11 x_{3}-2 x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+7 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0. \end{cases}
O que é pedido:
  • Encontrar uma base do espaço solução W=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid Ax=0\}\]. - Determinar a dimensão de \(W.
Informações relevantes dadas:
  • São quatro equações lineares homogêneas em quatro incógnitas.
  • O sistema pode ser escrito na forma matricial A x=0 onde A é a matriz dos coeficientes e x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.]

Passo 2

Vou escrever a matriz dos coeficientes \,A e o vetor incógnita \,x:
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & -4\\[4pt] 1 & 3 & 8 & -1\\[4pt] 1 & 4 & 11 & -2\\[4pt] 1 & 7 & 2 & -3 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.
Explicando rápido: resolver Ax=0 significa achar todos os vetores x que, ao multiplicar por A, dão o vetor nulo. Para isso uso eliminação de Gauss (operações elementares por linhas que preservam o conjunto de soluções).]

Passo 3

Primeira rodada de eliminação: zerar as entradas na coluna 1 abaixo da primeira linha. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}. Isso não altera as soluções. A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 3\\[4pt] 0 & 8 & 10 & 2\\[4pt] 0 & 11 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso a segunda linha como pivô para zerar as entradas da coluna 2 abaixo dela. As operações são R_{3}\leftarrow R_{3}-\dfrac{8}{7}R_{2} e R_{4}\leftarrow R_{4}-\dfrac{11}{7}R_{2}. Calculando cada entrada (explico cada cálculo brevemente):
  • Para R_{3}: a terceira entrada da nova linha 3 é 10-\dfrac{8}{7}\cdot7=10-8=2. A quarta entrada é 2-\dfrac{8}{7}\cdot3=2-\dfrac{24}{7}=\dfrac{14-24}{7}=-\dfrac{10}{7}.
  • Para R_{4}: a terceira entrada da nova linha 4 é 1-\dfrac{11}{7}\cdot7=1-11=-10. A quarta entrada é 1-\dfrac{11}{7}\cdot3=1-\dfrac{33}{7}=\dfrac{7-33}{7}=-\dfrac{26}{7}.
A matriz passa a ser:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -\dfrac{10}{7}\\[6pt] 0 & 0 & -10 & -\dfrac{26}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso a terceira linha (pivo na coluna 3) para eliminar a entrada da linha 4 na mesma coluna. A operação conveniente é R_{4}\leftarrow R_{4}+5R_{3} porque -10 + 5\cdot 2 = 0. Calculo a quarta entrada da nova linha 4:
-\dfrac{26}{7} + 5\left(-\dfrac{10}{7}\right) = -\dfrac{26}{7} - \dfrac{50}{7} = -\dfrac{76}{7}.
Assim a matriz triangular superior final é:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 7 & 7 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -\dfrac{10}{7}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\dfrac{76}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação do resultado: na forma triangular obtivemos quatro linhas não-nulas; em cada coluna aparece um pivô (um elemento não nulo na diagonal): nas colunas 1,2,3,4 respectivamente. Isso significa que a matriz A tem posto (rank) igual a 4. Explico porque:
  • O posto de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
  • Cada linha não-nula na forma escalonada corresponde a um pivô; aqui há quatro pivôs, logo posto =4.
Para um sistema homogêneo com n variáveis ( n=4 aqui), a dimensão do espaço solução (o núcleo/nullspace) satisfaz a relação
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A).
Substituindo n=4 e \operatorname{rank}(A)=4 obtemos
\dim(W)=4-4=0.
Dimensão zero significa que apenas a solução trivial existe, isto é W=\{0\} onde 0 é o vetor nulo.

Passo 7

Conclusão sobre a base: o único vetor solução é o vetor nulo. A base do espaço nulo (espaço solução) é o conjunto vazio \varnothing (por convenção a base do espaço zero é vazia) e a dimensão é 0.

Resposta

Base de W: \varnothing (ou W=\{0\})
\dim(W)=0

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