Encontre uma base e dê a dimensão dos seguintes subespaços de
:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão de subespaços de
definidos por equações lineares homogêneas, e depois o subespaço soma
. O conteúdo é sistemas lineares em variáveis
e a teoria de subespaços gerados por soluções de equações homogêneas.
Passo 2
Analisando
temos a equação
. As variáveis livres são
e
. Escrevemos
Logo uma base de
é
e a dimensão é
.
Passo 3
Analisando
temos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo em
dá
, ou seja
. Assim
Portanto uma base de
é
e
.
Passo 4
Analisando
temos
. As variáveis livres são
e
, e
Logo uma base de
é
e
.
Passo 5
Para
tomamos as bases já obtidas:
O soma é
Verificamos que os vetores
,
e
são LI (a única combinação linear nula é trivial), logo geram
. Assim
e uma base pode ser
com
.
Resposta
a) Base de
:
,
.
b) Base de :
,
.
c) Base de :
,
.
d) com base, por exemplo,
e
.
b) Base de
c) Base de
d)