Encontre uma base e dê a dimensão dos seguintes subespaços de \mathbb{R}^{3} :
a) W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 y=0\}
b) W_{2}=\{(x, y, z) \mid x+z=x-2 y=0\}
c) W_{3}=\{(x, y, z) \mid x+2 y-3 z=0\}
d) W_{2}+W_{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão de subespaços de \mathbb{R}^3 definidos por equações lineares homogêneas, e depois o subespaço soma W_{2}+W_{3}. O conteúdo é sistemas lineares em variáveis (x,y,z) e a teoria de subespaços gerados por soluções de equações homogêneas.

Passo 2

Analisando
W_{1} = \{(x,y,z)\mid x-2y=0\},
temos a equação x = 2y. As variáveis livres são y e z. Escrevemos
(x,y,z) = (2y,y,z) = y\,(2,1,0) \;+\; z\,(0,0,1).
Logo uma base de W_{1} é
\{(2,1,0),\,(0,0,1)\},
e a dimensão é \dim W_{1}=2.

Passo 3

Analisando
W_{2} = \{(x,y,z)\mid x+z=0,\;x-2y=0\},
temos o sistema
\begin{cases} x-2y=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=2y. Substituindo em x+z=0 2y+z=0, ou seja z=-2y. Assim
(x,y,z) = (2y,y,-2y) = y\,(2,1,-2).
Portanto uma base de W_{2} é
\{(2,1,-2)\},
e \dim W_{2}=1.

Passo 4

Analisando
W_{3} = \{(x,y,z)\mid x+2y-3z=0\},
temos x = -2y + 3z. As variáveis livres são y e z, e
(x,y,z) = (-2y+3z,y,z) = y\,(-2,1,0)\;+\;z\,(3,0,1).
Logo uma base de W_{3} é
\{(-2,1,0),\,(3,0,1)\},
e \dim W_{3}=2.

Passo 5

Para W_{2}+W_{3} tomamos as bases já obtidas:
W_{2}=\mathrm{span}\{(2,1,-2)\},\quad W_{3}=\mathrm{span}\{(-2,1,0),\,(3,0,1)\}.
O soma é
W_{2}+W_{3} = \mathrm{span}\{(2,1,-2),\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\}.
Verificamos que os vetores (2,1,-2), (-2,1,0) e (3,0,1) são LI (a única combinação linear nula é trivial), logo geram \mathbb{R}^3. Assim
W_{2}+W_{3} = \mathbb{R}^3,
e uma base pode ser
\{(2,1,-2),\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\},
com \dim(W_{2}+W_{3})=3.

Resposta

a) Base de W_{1}: \{(2,1,0),\,(0,0,1)\}, \dim W_{1}=2.
b) Base de W_{2}: \{(2,1,-2)\}, \dim W_{2}=1.
c) Base de W_{3}: \{(-2,1,0),\,(3,0,1)\}, \dim W_{3}=2.
d) W_{2}+W_{3}=\mathbb{R}^3 com base, por exemplo, \{(2,1,-2),\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\} e \dim(W_{2}+W_{3})=3.

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