Sejam A e B subconjuntos finitos de um espaço vetorial e suponha que A \subset B. Mostre que: a) Se A é LD, então B também o é. b) Se B é LI, então A também o é. Se B é LD, o que se pode afirmar a respeito de A ? E se A é LI?

Passo 1

O enunciado diz que A e B são subconjuntos finitos de um espaço vetorial V com A\subset B. Queremos usar as definições de dependência e independência linear:
  • X é linearmente dependente (LD) se existe combinação linear não trivial de vetores de X que dá o vetor zero.
  • X é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Provar que, se A é LD, então B também é LD.
Como A é LD, existem escalares \{\alpha_a\}_{a\in A}, nem todos zero, tais que
\sum_{a\in A}\alpha_a\,a \;=\;0.
Mas A\subset B, logo podemos ver esta mesma combinação como uma combinação de vetores em B. Como nem todos os \alpha_a são zero, conclui-se que B é LD.

Passo 3

Provar que, se B é LI, então A também é LI.
Suponha, por contradição, que A seja LD. Do passo anterior isso implicaria que B é LD, o que contraria a hipótese de B ser LI. Portanto A não pode ser LD e assim é LI.

Passo 4

Se B é LD, o que podemos afirmar sobre A?
Uma relação de dependência em B pode envolver vetores fora de A. Por exemplo, B=\{e_1,e_2,e_1+e_2\} é LD mas o subconjunto A=\{e_1,e_2\} é LI. Logo, nada se pode garantir em geral: A pode ser LD ou LI.

Passo 5

Se A é LI, o que podemos afirmar sobre B?
Mesmo que A seja LI, ao acrescentar vetores em B pode surgir dependência. Por exemplo, A=\{e_1,e_2\} é LI, mas B=\{e_1,e_2,e_1+e_2\} é LD. Logo, também aqui não se pode afirmar nada: B pode ser LI ou LD.

Resposta

  • Se A é LD, então B é LD.
  • Se B é LI, então A é LI.
  • Se B é LD, não se pode afirmar nada sobre A: A pode ser LD ou LI.
  • Se A é LI, não se pode afirmar nada sobre B: B pode ser LD ou LI.

Exercícios relacionados