Sejam
e
subconjuntos finitos de um espaço vetorial e suponha que
. Mostre que: a) Se
é LD, então
também o é. b) Se
é LI, então
também o é. Se
é LD, o que se pode afirmar a respeito de
? E se
é LI?
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subconjuntos finitos de um espaço vetorial
com
. Queremos usar as definições de dependência e independência linear:
-
é linearmente dependente (LD) se existe combinação linear não trivial de vetores de que dá o vetor zero. -
é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Provar que, se
é LD, então
também é LD.
Como é LD, existem escalares
, nem todos zero, tais que
Como
Mas
, logo podemos ver esta mesma combinação como uma combinação de vetores em
. Como nem todos os
são zero, conclui-se que
é LD.
Passo 3
Provar que, se
é LI, então
também é LI.
Suponha, por contradição, que seja LD. Do passo anterior isso implicaria que
é LD, o que contraria a hipótese de
ser LI. Portanto
não pode ser LD e assim é LI.
Suponha, por contradição, que
Passo 4
Se
é LD, o que podemos afirmar sobre
?
Uma relação de dependência em pode envolver vetores fora de
. Por exemplo,
é LD mas o subconjunto
é LI. Logo, nada se pode garantir em geral:
pode ser LD ou LI.
Uma relação de dependência em
Passo 5
Se
é LI, o que podemos afirmar sobre
?
Mesmo que seja LI, ao acrescentar vetores em
pode surgir dependência. Por exemplo,
é LI, mas
é LD. Logo, também aqui não se pode afirmar nada:
pode ser LI ou LD.
Mesmo que
Resposta
- Se
é LD, então é LD. - Se
é LI, então é LI. - Se
é LD, não se pode afirmar nada sobre : pode ser LD ou LI. - Se
é LI, não se pode afirmar nada sobre : pode ser LD ou LI.