Encontre uma base para a imagem e outra para o núcleo da transformação linear T, dada por:
T(x, y, z, t)=(x+y, x+2 y-z, x+y+t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar uma base para a imagem de T.
  • Encontrar uma base para o núcleo (núcleo = conjunto de vetores que vão para o vetor zero) de T.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são:
T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z,t)=(x+y,\;x+2y-z,\;x+y+t).

Passo 2

Vamos traduzir essa transformação numa forma que seja fácil de manipular: a matriz que representa T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3. Depois:
  • A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas dessa matriz (coluna = imagem dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4).
  • O núcleo de T é o espaço solução do sistema homogêneo A\,(x,y,z,t)^\top=0, onde A é a matriz de T.
Vou mostrar passo a passo como construir A, como analisar as colunas para obter uma base da imagem e como resolver o sistema para o núcleo.

Passo 3

Construção da matriz A. Aplicando T aos vetores canônicos:
  • T(1,0,0,0)=(1,1,1),
  • T(0,1,0,0)=(1,2,1),
  • T(0,0,1,0)=(0,-1,0),
  • T(0,0,0,1)=(0,0,1).
Portanto a matriz A (3 linhas, 4 colunas) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
cujas colunas vou chamar de
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_4=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Analisar dependências lineares entre as colunas para obter uma base da imagem.
Primeiro observe a diferença entre c_2 e c_1:
c_2-c_1=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Comparando com c_3 vemos que
c_3=-\big(c_2-c_1\big).
Logo c_3 é combinação linear de c_1 e c_2; portanto c_3 não adiciona dimensão nova ao espaço gerado pelas colunas.]

Passo 5

Verificar se c_1,\;c_2,\;c_4\) são linearmente independentes. Considere a combinação \[\alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_4=0.
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+2\beta=0,\\[4pt] \alpha+\beta+\gamma=0. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=-\beta\]. Substituindo na segunda: \[-\beta+2\beta=\beta=0 \Rightarrow \beta=0 \Rightarrow \alpha=0.\] Então da terceira vem \(\gamma=0. Assim só a solução trivial existe, logo c_1,c_2,c_4 são linearmente independentes.]

Passo 6

Como c_1,c_2,c_4 são 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base da imagem. A dimensão da imagem é 3, logo \operatorname{Im}T tem dimensão 3. Como o espaço alvo é \mathbb{R}^3 e a imagem tem dimensão 3, concluímos que
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3.
Uma base conveniente (extraída das colunas da matriz) é \{c_1,c_2,c_4\}.

Passo 7

Agora o núcleo: resolver A(x,y,z,t)^\top=0\). Escrevendo o sistema coordenada a coordenada: \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x+2y-z=0,\\[4pt] x+y+t=0. \end{cases}
Da primeira equação temos \;x=-y\]. Substituindo na segunda: \[(-y)+2y-z=0 \Rightarrow y-z=0 \Rightarrow z=y.\] Substituindo \(x=-y na terceira:
(-y)+y+t=0 \Rightarrow t=0.
Portanto as coordenadas satisfazem x=-y,\;z=y,\;t=0. Escrevendo o vetor genérico do núcleo com parâmetro y\in\mathbb{R}:
(x,y,z,t)=(-y,\;y,\;y,\;0)=y\cdot(-1,1,1,0).]

Passo 8

Conclusão sobre o núcleo: ele é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor (-1,1,1,0). Como checagem rápida, pela dimensão: \dim\ker T=1 e \dim\operatorname{Im}T=3, e 1+3=4, que concorre com o teorema do posto-nulidade para transformação de \mathbb{R}^4.

Resposta

Base da imagem: \{(1,1,1),\;(1,2,1),\;(0,0,1)\}
Base do núcleo: \{(-1,1,1,0)\}

Exercícios relacionados