Vamos traduzir essa transformação numa forma que seja fácil de manipular: a matriz que representa T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3. Depois:
A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas dessa matriz (coluna = imagem dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4).
O núcleo de T é o espaço solução do sistema homogêneo A\,(x,y,z,t)^\top=0, onde A é a matriz de T.
Vou mostrar passo a passo como construir A, como analisar as colunas para obter uma base da imagem e como resolver o sistema para o núcleo.
Passo 3
Construção da matriz A. Aplicando T aos vetores canônicos:
Da primeira equação \alpha=-\beta\]. Substituindo na segunda:
\[-\beta+2\beta=\beta=0 \Rightarrow \beta=0 \Rightarrow \alpha=0.\]
Então da terceira vem \(\gamma=0. Assim só a solução trivial existe, logo c_1,c_2,c_4 são linearmente independentes.]
Passo 6
Como c_1,c_2,c_4 são 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base da imagem. A dimensão da imagem é 3, logo \operatorname{Im}T tem dimensão 3. Como o espaço alvo é \mathbb{R}^3 e a imagem tem dimensão 3, concluímos que
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3.
Uma base conveniente (extraída das colunas da matriz) é \{c_1,c_2,c_4\}.
Passo 7
Agora o núcleo: resolver A(x,y,z,t)^\top=0\). Escrevendo o sistema coordenada a coordenada:
\[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x+2y-z=0,\\[4pt] x+y+t=0. \end{cases}
Da primeira equação temos \;x=-y\]. Substituindo na segunda:
\[(-y)+2y-z=0 \Rightarrow y-z=0 \Rightarrow z=y.\]
Substituindo \(x=-y na terceira:
(-y)+y+t=0 \Rightarrow t=0.
Portanto as coordenadas satisfazem x=-y,\;z=y,\;t=0. Escrevendo o vetor genérico do núcleo com parâmetro y\in\mathbb{R}:
(x,y,z,t)=(-y,\;y,\;y,\;0)=y\cdot(-1,1,1,0).]
Passo 8
Conclusão sobre o núcleo: ele é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor (-1,1,1,0). Como checagem rápida, pela dimensão: \dim\ker T=1 e \dim\operatorname{Im}T=3, e 1+3=4, que concorre com o teorema do posto-nulidade para transformação de \mathbb{R}^4.