Exemplo 21: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(x-2 y, 2 x+y) :
a) Encontre a matriz canônica A da transformação linear:
b) Determine uma base para a imagem dessa transformação. Obs.: Compare os vetores com a matriz A.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (pego exatamente do enunciado):
  • Foi dada a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (x-2y,\;2x+y).
  • Perguntas:
    a) Encontrar a matriz canônica A da transformação linear (ou seja, a matriz de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2).
    b) Determinar uma base para a imagem de T. Observação do enunciado: comparar os vetores com a matriz A.

Passo 2

O que significa “matriz canônica” aqui (explicação didática, passo a passo):
  • As bases canônicas são e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
  • A regra prática (muito usada em prova) é: a matriz canônica A de T tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio, isto é, as colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3).
  • Raciocínio por que isso funciona (curtinho): aplicar T a um vetor (x,y,z) e escrever (x,y,z)=x e_1 + y e_2 + z e_3. Pela linearidade, T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3),que é exatamente a multiplicação da matriz com a coluna (x,y,z). Então, calcular T(e_i) dá todas as colunas de A.

Passo 3

Calcular T(e_1),T(e_2),T(e_3) explicitamente (substituir cada base canônica na fórmula de T):
  • Para e_1=(1,0,0): T(1,0,0) = (1-2\cdot0,\;2\cdot1+0) = (1,\;2).
  • Para e_2=(0,1,0): T(0,1,0) = (0-2\cdot1,\;2\cdot0+1) = (-2,\;1).
  • Para e_3=(0,0,1): T(0,0,1) = (0-2\cdot0,\;2\cdot0+0) = (0,\;0).
Aqui já se vê a ligação com a observação do enunciado: os vetores que aparecerem como colunas da matriz A são exatamente esses três.

Passo 4

Formar a matriz canônica A colocando as imagens como colunas, na ordem T(e_1),T(e_2),T(e_3):
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & \;1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: é uma matriz 2\times3 (duas linhas, três colunas), porque T manda \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2.]

Passo 5

O que é a imagem de T e como achar uma base para ela (passo a passo didático):
  • Definição prática: \operatorname{Im}(T) é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^2 que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^3.
  • Pela construção da matriz, \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas de A. Ou seja, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2),\;(-2,1),\;(0,0)\}.
  • O vetor (0,0) não contribui para a geração (é o vetor zero), então podemos ignorá‑lo na busca de uma base. Assim ficamos com os dois vetores v_1=(1,2),\qquad v_2=(-2,1).

Passo 6

Verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (e portanto formam uma base do espaço gerado):
  • Método direto: verificar se existe escalar k tal que v_1 = k v_2. Se fosse múltiplo, os componentes teriam que satisfazer 1 = -2k e 2 = 1\cdot k. Da primeira equação k=-\tfrac{1}{2}; da segunda k=2. Como essas duas condições são incompatíveis, não existe tal k. Logo v_1 e v_2 não são múltiplos entre si.
  • Método do determinante (curtinho e seguro em \mathbb{R}^2): formar a matriz 2\times2 cujas colunas são v_1 e v_2 e calcular seu determinante: \det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = 1 + 4 = 5 \neq 0.Determinante não nulo implica linearmente independentes.
  • Conclusão: v_1 e v_2 são linearmente independentes e geram a imagem, logo formam uma base de \operatorname{Im}(T).
Observação útil para a prova: como há duas colunas linearmente independentes em \mathbb{R}^2, a imagem tem dimensão 2, isto é, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2 e T é sobrejetora.]

Resposta

a) A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\end{pmatrix}
b) Uma base para \operatorname{Im}(T) é \{(1,2),\;(-2,1)\}.]

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