Exemplo 21: Considere a transformação linear
definida por
:
a) Encontre a matriz canônica
da transformação linear:
b) Determine uma base para a imagem dessa transformação. Obs.: Compare os vetores com a matriz A.
a) Encontre a matriz canônica
b) Determine uma base para a imagem dessa transformação. Obs.: Compare os vetores com a matriz A.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (pego exatamente do enunciado):
- Foi dada a transformação linear
definida por
- Perguntas:
a) Encontrar a matriz canônicada transformação linear (ou seja, a matriz de relativa às bases canônicas de e ).
b) Determinar uma base para a imagem de. Observação do enunciado: comparar os vetores com a matriz .
Passo 2
O que significa “matriz canônica” aqui (explicação didática, passo a passo):
- As bases canônicas são
- A regra prática (muito usada em prova) é: a matriz canônica
de tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio, isto é, as colunas são . - Raciocínio por que isso funciona (curtinho): aplicar
a um vetor e escrever . Pela linearidade, que é exatamente a multiplicação da matriz com a coluna . Então, calcular dá todas as colunas de .
Passo 3
Calcular
explicitamente (substituir cada base canônica na fórmula de
):
- Para
: - Para
: - Para
:
Aqui já se vê a ligação com a observação do enunciado: os vetores que aparecerem como colunas da matriz
são exatamente esses três.
Passo 4
Formar a matriz canônica
colocando as imagens como colunas, na ordem
:
Explicação rápida: é uma matriz
(duas linhas, três colunas), porque
manda
em
.]
Passo 5
O que é a imagem de
e como achar uma base para ela (passo a passo didático):
- Definição prática:
é o conjunto de todos os vetores em que aparecem como para algum . - Pela construção da matriz,
é o subespaço gerado pelas colunas de . Ou seja, - O vetor
não contribui para a geração (é o vetor zero), então podemos ignorá‑lo na busca de uma base. Assim ficamos com os dois vetores
Passo 6
Verificar se
e
são linearmente independentes (e portanto formam uma base do espaço gerado):
- Método direto: verificar se existe escalar
tal que . Se fosse múltiplo, os componentes teriam que satisfazer e . Da primeira equação ; da segunda . Como essas duas condições são incompatíveis, não existe tal . Logo e não são múltiplos entre si. - Método do determinante (curtinho e seguro em
): formar a matriz cujas colunas são e e calcular seu determinante: Determinante não nulo implica linearmente independentes. - Conclusão:
e são linearmente independentes e geram a imagem, logo formam uma base de .
Observação útil para a prova: como há duas colunas linearmente independentes em
, a imagem tem dimensão
, isto é,
e
é sobrejetora.]
Resposta
a)
b) Uma base para
é
.]