Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
f_{2}(x, y), onde f(x, y)=e^{-2 x} \tan y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f_{2}(x,y). As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=e^{-2x}\tan y.
  • Por f_{2} entende-se a derivada parcial em relação à segunda variável (ou seja, em relação a y).
    O que se quer: calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y), tratando x como constante durante a diferenciação e aplicando as regras usuais de diferenciação.

Passo 2

Definição prática da derivada parcial em relação a y: para fixar a ideia, a derivada parcial de f em relação a y é a taxa de variação de f quando só y varia e x fica fixo. Em termos de limite,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções que são combinação de funções elementares, isso equivale a tratar x como constante e aplicar as regras de derivação ordinária em y.

Passo 3

Reescrevendo f para ver a estrutura:
f(x,y)=e^{-2x}\cdot \tan y.
Aqui e^{-2x} depende só de x; quando diferenciamos em relação a y, esse fator é uma constante (com respeito a y). Então podemos usar a propriedade linear da derivada: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 4

Regra que vamos usar: se C é constante (em relação a y) e g(y) é diferenciável, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(C\cdot g(y)\bigr)=C\cdot g'(y).
No nosso caso C=e^{-2x} e g(y)=\tan y. Portanto precisamos da derivada ordinária de \tan y.

Passo 5

Derivada de \tan y: pode-se lembrar como regra padrão que
\frac{d}{dy}\bigl(\tan y\bigr)=\operatorname{sec}^{2}y.
Se quiser ver rapidamente por que: \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}. Aplicando a regra do quociente,
\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos y\cdot\cos y - (\sin y)(-\sin y)}{\cos^{2}y}=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\operatorname{sec}^{2}y.

Passo 6

Aplicando a regra do Passo 4 com C=e^{-2x} e g'(y)=\operatorname{sec}^{2}y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-2x}\cdot \operatorname{sec}^{2}y.
Opcionalmente pode-se escrever \operatorname{sec}^{2}y como \dfrac{1}{\cos^{2}y}, então outra forma equivalente é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{e^{-2x}}{\cos^{2}y}.

Resposta

f_{2}(x,y)=e^{-2x}\operatorname{sec}^{2}y

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