Encontre cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação ordinária.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
. As informações dadas são:
- A função é
. - Por
entende-se a derivada parcial em relação à segunda variável (ou seja, em relação a ).
O que se quer: calcular, tratando como constante durante a diferenciação e aplicando as regras usuais de diferenciação.
Passo 2
Definição prática da derivada parcial em relação a
: para fixar a ideia, a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Em termos de limite,
Na prática, para funções que são combinação de funções elementares, isso equivale a tratar
como constante e aplicar as regras de derivação ordinária em
.
Passo 3
Reescrevendo
para ver a estrutura:
Aqui
depende só de
; quando diferenciamos em relação a
, esse fator é uma constante (com respeito a
). Então podemos usar a propriedade linear da derivada: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 4
Regra que vamos usar: se
é constante (em relação a
) e
é diferenciável, então
No nosso caso
e
. Portanto precisamos da derivada ordinária de
.
Passo 5
Derivada de
: pode-se lembrar como regra padrão que
Se quiser ver rapidamente por que:
. Aplicando a regra do quociente,
Passo 6
Aplicando a regra do Passo 4 com
e
, obtemos
Opcionalmente pode-se escrever
como
, então outra forma equivalente é