Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
\frac{\partial z}{\partial y} no ponto (3,-5)), onde z=-7 x^{2} y+x y+3

Passo 1

O enunciado dá a função z=-7 x^{2} y + x y + 3 e pede para encontrar a derivada parcial de z em relação a y no ponto (3,-5).
Informações fornecidas:
  • A função: z(x,y) = -7 x^{2} y + x y + 3.
  • O ponto onde avaliar: (x,y)=(3,-5).
  • Pedido: calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} em (3,-5) aplicando diretamente a definição formal da derivada parcial.

Passo 2

Escrevendo a definição formal da derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x,y+h)-z(x,y)}{h}.
Explicação rápida e intuitiva: isso significa aumentar y por um pequeno incremento h, manter x fixo, ver quanto z muda, dividir essa mudança por h e tomar o limite quando h vai para zero. O símbolo h representa esse pequeno incremento em y.

Passo 3

Calcular z(x,y+h) substituindo y+h na expressão de z:
z(x,y+h) = -7 x^{2}(y+h) + x(y+h) + 3.
Agora expandir termo a termo:
z(x,y+h) = -7 x^{2}y -7 x^{2}h + x y + x h + 3.

Passo 4

Formar a diferença z(x,y+h)-z(x,y). Primeiro escrevendo z(x,y):
z(x,y) = -7 x^{2}y + x y + 3.
Subtraindo:
z(x,y+h)-z(x,y) = \bigl(-7 x^{2}y -7 x^{2}h + x y + x h + 3\bigr) - \bigl(-7 x^{2}y + x y + 3\bigr).
Cancelar os termos iguais e simplificar:
z(x,y+h)-z(x,y) = -7 x^{2}h + x h = h\bigl(-7 x^{2} + x\bigr).

Passo 5

Dividir por h e tomar o limite h\to 0:
\frac{z(x,y+h)-z(x,y)}{h} = -7 x^{2} + x.
Como essa expressão não depende de h, o limite é imediato:
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = -7 x^{2} + x.
Comentário: isso faz sentido porque, ao derivar em relação a y mantendo x constante, cada termo em z que é linear em y contribui com seu coeficiente (aqui -7x^2 e x), e termos que não dependem de y (como +3) desaparecem.

Passo 6

Agora avaliar a expressão encontrada no ponto (3,-5). Só precisamos de x=3:
\frac{\partial z}{\partial y}(3,-5) = -7\cdot 3^{2} + 3.
Calcular passo a passo:
3^{2}=9,\qquad -7\cdot 9 = -63, \qquad -63 + 3 = -60.
Portanto o valor da derivada parcial pedido é -60. Força aí — já era!

Resposta

-60

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