Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
no ponto
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde avaliar:
. - Pedido: calcular
em aplicando diretamente a definição formal da derivada parcial.
Passo 2
Escrevendo a definição formal da derivada parcial em relação a
:
Explicação rápida e intuitiva: isso significa aumentar
por um pequeno incremento
, manter
fixo, ver quanto
muda, dividir essa mudança por
e tomar o limite quando
vai para zero. O símbolo
representa esse pequeno incremento em
.
Passo 3
Calcular
substituindo
na expressão de
:
Agora expandir termo a termo:
Passo 4
Formar a diferença
. Primeiro escrevendo
:
Subtraindo:
Cancelar os termos iguais e simplificar:
Passo 5
Dividir por
e tomar o limite
:
Como essa expressão não depende de
, o limite é imediato:
Comentário: isso faz sentido porque, ao derivar em relação a
mantendo
constante, cada termo em
que é linear em
contribui com seu coeficiente (aqui
e
), e termos que não dependem de
(como
) desaparecem.
Passo 6
Agora avaliar a expressão encontrada no ponto
. Só precisamos de
:
Calcular passo a passo:
Portanto o valor da derivada parcial pedido é
. Força aí — já era!