Encontre, em cada um dos ítens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de \frac{d y}{d x}\left(x_{0}\right), onde:
x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede, para cada item do exercício, determinar \dfrac{dy}{dx} quando y=y(x) é dada implicitamente por uma equação, e em seguida avaliar esse derivado em \,x_{0}=1.
Informações fornecidas explicitamente: \,x_{0}=1.
Informações faltantes (necessárias para resolver): as equações implícitas que definem y=y(x) nos itens não foram fornecidas. Sem essas equações não é possível calcular \dfrac{dy}{dx} nem o seu valor em \,x_{0}=1.

Passo 2

O que eu faria assim que você me desse uma equação implícita \;G(x,y)=0: explicar o método passo a passo (a técnica que você deve aplicar na prova).
  1. Reconhecer a equação implícita: escrever \;G(x,y)=0.
  2. Diferenciar ambos os lados em relação a x. Ao diferenciar uma função que envolve y (que é função de x), usar a regra da cadeia: toda vez que aparecer y dentro de uma expressão, seu derivado é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  3. Agrupar todos os termos que têm y' de um lado e os que não têm do outro; isolar y'.
  4. Quando for possível, substituir o ponto x=1 e o(s) valor(es) de y correspondentes (obtidos da equação original com x=1) para obter y'(1). Se houver mais de um valor de y para x=1, cada ramo dá um valor possivelmente diferente de y'(1).

Passo 3

Fórmula curta (muito útil na prova): se a equação puder ser escrita como \;F(x,y)=0, então, pela diferenciação implicitamente, obtemos
\frac{d}{dx}F(x,y(x))=0 \;\Longrightarrow\; F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)\,y'=0,
onde F_{x} significa a derivada parcial de F em relação a x (derivando x e tratando y como constante) e F_{y} é a derivada parcial em relação a y (derivando y e lembrando que y depende de x). Assim,
\boxed{\,y'=-\dfrac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}\,}
desde que F_{y}(x,y)\neq 0.
Explicando em palavras: derive cada termo normalmente; quando derivar algo que contém y multiplique pelo fator y' (regra da cadeia). Depois resolva para y'.

Passo 4

Exemplo guiado 1 (polinomial simples) — mostro passo a passo para você poder replicar:
Equação: \;x^{2}+y^{2}=5.
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(5).
Calcule termo a termo: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Para \dfrac{d}{dx}(y^{2}) uso a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y'. O lado direito é 0. Portanto
2x+2y\,y'=0.
Isolo y':
2y\,y'=-2x \quad\Longrightarrow\quad y'=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}.
Agora avalio em x_{0}=1. Primeiro preciso dos y que satisfazem a equação original com x=1:
1^{2}+y^{2}=5 \;\Longrightarrow\; y^{2}=4 \;\Longrightarrow\; y=\pm 2.
Portanto há dois ramos com pontos (1,2) e (1,-2). Avaliando y'=-\dfrac{x}{y} em cada um:
y'(1,2)=-\dfrac{1}{2},\qquad y'(1,-2)=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}.
Interpretação para a prova: quando x=1 você deve primeiro encontrar todos os valores de y que satisfazem a equação; cada um gera um y'(1) possivelmente distinto.

Passo 5

Exemplo guiado 2 (produto envolvendo x e y) — outro padrão comum:
Equação: \;x y + y^{2}=2.
Diferencio:
\frac{d}{dx}(x y)+\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(2).
Para \dfrac{d}{dx}(x y) uso a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(x y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'. Para \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\,y'. Logo
y + x y' + 2y\,y' = 0.
Agrupando y':
(x+2y)\,y' + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\dfrac{y}{x+2y}.
Agora avalio em x_{0}=1. Primeiro resolvo a equação original com x=1:
1\cdot y + y^{2}=2 \;\Longrightarrow\; y^{2}+y-2=0 \;\Longrightarrow\; (y+2)(y-1)=0.
Assim y=1 ou y=-2. Avaliando:
y'(1,1)=-\dfrac{1}{1+2}=-\dfrac{1}{3},\qquad y'(1,-2)=-\dfrac{-2}{1+2(-2)}=-\dfrac{-2}{1-4}=-\dfrac{-2}{-3}=-\dfrac{2}{3}.
(Observação: simplifiquei sinais com cuidado; fique atento aos denominadores para não dividir por zero.)

Passo 6

Regras práticas e dicas para a prova (resumindo e motivando):
  • Sempre comece identificando y(1) resolvendo a equação original com x=1.
  • Diferencie ambos os lados em relação a x; aplique produto, cadeia e soma normalmente. Use y' para \dfrac{dy}{dx}.
  • Agrupe e isole y'. Se aparecer F_{y}(x,y) no denominador, verifique se é zero — se for, a fórmula y'=-F_{x}/F_{y} não é aplicável ali e pode indicar ponto singular (mergulhe mais profundo ou verifica geometria).
  • Se houver mais de um y para x=1, calcule y'(1) para cada valor de y.
  • Pratique esses passos com polinômios, produtos e funções trig/exp para ganhar agilidade.

Passo 7

Como conclusão direta sobre o exercício que você mandou: sem as equações implícitas dos itens eu não posso fornecer o cálculo específico nem o valor numérico de \dfrac{dy}{dx} em \,x_{0}=1. Se você colar aqui as equações de cada item (mesmo uma por vez), eu faço exatamente o passo a passo acima aplicado à sua equação e calculo \dfrac{dy}{dx}(1).

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx}(1) porque as equações implícitas dos itens não foram fornecidas.

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