Encontre, em cada um dos ítens abaixo,
, onde
é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
, onde:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede, para cada item do exercício, determinar
quando
é dada implicitamente por uma equação, e em seguida avaliar esse derivado em
.
Informações fornecidas explicitamente: .
Informações faltantes (necessárias para resolver): as equações implícitas que definem nos itens não foram fornecidas. Sem essas equações não é possível calcular
nem o seu valor em
.
Informações fornecidas explicitamente:
Informações faltantes (necessárias para resolver): as equações implícitas que definem
Passo 2
O que eu faria assim que você me desse uma equação implícita
: explicar o método passo a passo (a técnica que você deve aplicar na prova).
- Reconhecer a equação implícita: escrever
. - Diferenciar ambos os lados em relação a
. Ao diferenciar uma função que envolve (que é função de ), usar a regra da cadeia: toda vez que aparecer dentro de uma expressão, seu derivado é . - Agrupar todos os termos que têm
de um lado e os que não têm do outro; isolar . - Quando for possível, substituir o ponto
e o(s) valor(es) de correspondentes (obtidos da equação original com ) para obter . Se houver mais de um valor de para , cada ramo dá um valor possivelmente diferente de .
Passo 3
Fórmula curta (muito útil na prova): se a equação puder ser escrita como
, então, pela diferenciação implicitamente, obtemos
onde
significa a derivada parcial de
em relação a
(derivando
e tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(derivando
e lembrando que
depende de
). Assim,
desde que
.
Explicando em palavras: derive cada termo normalmente; quando derivar algo que contém multiplique pelo fator
(regra da cadeia). Depois resolva para
.
Explicando em palavras: derive cada termo normalmente; quando derivar algo que contém
Passo 4
Exemplo guiado 1 (polinomial simples) — mostro passo a passo para você poder replicar:
Equação: .
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Equação:
Diferenciando ambos os lados em relação a
Calcule termo a termo:
. Para
uso a regra da cadeia:
. O lado direito é
. Portanto
Isolo
:
Agora avalio em
. Primeiro preciso dos
que satisfazem a equação original com
:
Portanto há dois ramos com pontos
e
. Avaliando
em cada um:
Interpretação para a prova: quando
você deve primeiro encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação; cada um gera um
possivelmente distinto.
Passo 5
Exemplo guiado 2 (produto envolvendo
e
) — outro padrão comum:
Equação: .
Diferencio:
Equação:
Diferencio:
Para
uso a regra do produto:
. Para
. Logo
Agrupando
:
Agora avalio em
. Primeiro resolvo a equação original com
:
Assim
ou
. Avaliando:
(Observação: simplifiquei sinais com cuidado; fique atento aos denominadores para não dividir por zero.)
Passo 6
Regras práticas e dicas para a prova (resumindo e motivando):
- Sempre comece identificando
resolvendo a equação original com . - Diferencie ambos os lados em relação a
; aplique produto, cadeia e soma normalmente. Use para . - Agrupe e isole
. Se aparecer no denominador, verifique se é zero — se for, a fórmula não é aplicável ali e pode indicar ponto singular (mergulhe mais profundo ou verifica geometria). - Se houver mais de um
para , calcule para cada valor de . - Pratique esses passos com polinômios, produtos e funções trig/exp para ganhar agilidade.
Passo 7
Como conclusão direta sobre o exercício que você mandou: sem as equações implícitas dos itens eu não posso fornecer o cálculo específico nem o valor numérico de
em
. Se você colar aqui as equações de cada item (mesmo uma por vez), eu faço exatamente o passo a passo acima aplicado à sua equação e calculo
.
Resposta
Não é possível determinar
porque as equações implícitas dos itens não foram fornecidas.