Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A variável de integração é
. - Temos um produto de
por uma função exponencial . - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é uma função
tal que . - A resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método: observando a integral, a parte
está dentro da exponencial e sua derivada tem fator
. Isso indica que uma substituição simples vai eliminar o produto e transformar a integral numa exponencial simples. Vou usar a substituição
Explicando a escolha de forma bem didática: como a exponencial tem dentro
, se definirmos
como
então a expressão dentro da exponencial fica
. Além disso, ao derivar
em relação a
aparece um fator
, que combina com o
do integrando — isso facilita muito.
Passo 3
Calculemos o diferencial
. Diferenciando
obtemos
Reescrevendo para aparecer
, temos
Agora substituímos na integral original: trocando
por
e
por
, obtemos
Passo 4
Colocando o fator constante para fora da integral:
Agora precisamos integrar
. Regra útil (mini-aula): para integrar uma exponencial da forma
com
constante, a primitiva é
, porque ao derivar
pelo teorema da cadeia aparece exatamente
. Aplicando com
,
Passo 5
Voltando ao passo com o fator
:
Multiplicando os constantes,
Agora desfazemos a substituição
:
Passo 6
Verificação rápida (checar sempre que possível na prova): derive a resposta para confirmar. Seja
. Pela regra da cadeia,
pois a derivada de
é
. Isso coincide com o integrando original, então a primitiva está correta.