Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
\int x e^{3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x e^{3 x^{2}}\, dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A variável de integração é x.
  • Temos um produto de x por uma função exponencial e^{3x^{2}}.
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{3x^{2}}.
  • A resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método: observando a integral, a parte 3x^{2} está dentro da exponencial e sua derivada tem fator x. Isso indica que uma substituição simples vai eliminar o produto e transformar a integral numa exponencial simples. Vou usar a substituição
u = x^{2}.
Explicando a escolha de forma bem didática: como a exponencial tem dentro 3x^{2}, se definirmos u como x^{2} então a expressão dentro da exponencial fica 3u. Além disso, ao derivar u em relação a x aparece um fator x, que combina com o x do integrando — isso facilita muito.

Passo 3

Calculemos o diferencial du. Diferenciando u = x^{2} obtemos
du = 2x\, dx.
Reescrevendo para aparecer x\,dx, temos
x\, dx = \frac{1}{2}\, du.
Agora substituímos na integral original: trocando x\,dx por \frac{1}{2}du e 3x^{2} por 3u, obtemos
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \int e^{3u}\left(\frac{1}{2}\, du\right).

Passo 4

Colocando o fator constante para fora da integral:
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\int e^{3u}\, du.
Agora precisamos integrar \int e^{3u}\, du. Regra útil (mini-aula): para integrar uma exponencial da forma e^{a u} com a constante, a primitiva é \frac{1}{a}e^{a u}, porque ao derivar \frac{1}{a}e^{a u} pelo teorema da cadeia aparece exatamente e^{a u}. Aplicando com a=3,
\int e^{3u}\, du = \frac{1}{3} e^{3u} + C.

Passo 5

Voltando ao passo com o fator \frac{1}{2}:
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} e^{3u} + C.
Multiplicando os constantes,
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{1}{6} e^{3u} + C.
Agora desfazemos a substituição u = x^{2}:
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \frac{1}{6} e^{3x^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (checar sempre que possível na prova): derive a resposta para confirmar. Seja F(x)=\frac{1}{6} e^{3x^{2}}+C. Pela regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{6}\cdot e^{3x^{2}}\cdot (6x) = x e^{3x^{2}},
pois a derivada de 3x^{2} é 6x. Isso coincide com o integrando original, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6} e^{3x^{2}} + C

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