- Encontre o campo elétrico a uma distância
acima do centro de uma espira circular de raio
, que tem uma densidade linear de carga uniforme
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos (peguei os símbolos e a geometria da figura enviada). O problema solicita: encontrar o campo elétrico no ponto
que está a uma distância
acima do centro de uma espira circular de raio
, quando a espira tem densidade linear de carga uniforme
.
Informações relevantes dadas:
- A espira é um anel circular de raio
(peguei da imagem). - O ponto
está no eixo da espira, a uma distância acima do centro (peguei da imagem). - A densidade linear de carga ao longo da espira é uniforme e vale
(carga por unidade de comprimento). - A espira está toda no mesmo plano; não há outras cargas além dessa espira.
O que se pede:
- Determinar o campo elétrico
no ponto (em função de , , e constantes físicas).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): por simetria, a espira é uniforme e circular, então todos os elementos de carga ao redor do anel contribuem com um campo cujo componente radial (no plano perpendicular ao eixo) se anula quando somamos todas as direções — sobram apenas as componentes ao longo do eixo da espira. Portanto é natural usar Coulomb para um elemento de carga
, decompor o vetor campo em componentes e integrar ao longo do anel. Esse método é o mais simples e direto para problemas com simetria circular.
Breve lembrete (ferramentas que usaremos):
- Lei de Coulomb para um elemento de carga
: um elemento produz um campo de magnitude apontando ao longo da linha que une ao ponto de interesse. - Usaremos a decomposição trigonométrica para pegar a componente axial (ao longo de
). -
será expresso a partir da densidade linear: .
Passo 3
Definição do elemento de carga e paramétrica do anel: parametrizo a espira pelo ângulo polar
no plano da espira. Um pequeno trecho de arco tem comprimento
. Como a densidade linear é
, o elemento de carga é
Aqui
varia de
a
e
e
são constantes.
Passo 4
Aplicando Coulomb ao elemento
: considere o ponto
sobre o eixo a distância
do centro. A distância do elemento
em qualquer posição da espira até
é
A magnitude do campo produzido por
é
Esse vetor
aponta ao longo da linha que une
a
. Vamos decompor
em componente axial (paralela ao eixo
) e componente radial (no plano perpendicular). Por simetria, quando integramos ao redor de
as componentes radiais (paralelas ao plano da espira) se cancelam, sobrando apenas a componente axial. Portanto só precisamos da componente axial
.
Passo 5
Determinar a componente axial
: o ângulo entre a linha que une
a
e o eixo
tem cosseno
Assim a componente axial do campo do elemento é
Agora substituímos
e
.
Passo 6
Montar a integral para o campo total axial
: substituindo em
,
Como tudo, exceto
, é independente de
, podemos integrar de
a
:
A integral de
é
.
Passo 7
Calcular a integral e simplificar: fazendo a integral obtemos
Simplificando o fator numérico
,
Se preferir em termos da carga total da espira
, lembrando que
, substituindo:
Passo 8
Direção, sinal e checagens intuitivas:
- O vetor campo está ao longo do eixo
. Para carga positiva ( ) o campo aponta para cima (para longe da espira) se está acima; para carga negativa aponta para baixo. Em notação vetorial unitária ,
- Limites de verificação:
- Em
(no centro da espira, no plano), conforme esperado por simetria. - Para
(ponto distante), e , como se a espira estivesse concentrada em uma carga pontual — comportamento consistente.
- Em
Passo 9
Dicas rápidas para prova (como reproduzir isso sem erro):
- Sempre use simetria para eliminar componentes: anel simétrico → só componente axial.
- Escreva
e não esqueça que é constante ao longo do anel. - Lembre-se do fator trigonométrico
para pegar a componente axial. - Se pedirem em termos de
, substitua .