1. Encontre o campo elétrico a uma distància z acima de uma das extremidades de um segmento de linha reta L e que tem distribuiçāo linear de carga uniforme de densidade \lambda. Verifique se sua fórmula é coerente com o que seria de se esperar, para o caso de z \gg L.

Passo 1

O enunciado nos dá um segmento retilíneo de comprimento L com densidade linear de carga uniforme \lambda. Pede-se:
  • Encontrar o campo elétrico no ponto P que fica a uma distância z acima de uma das extremidades do segmento (ou seja, a linha é horizontal e o ponto está perpendicular à sua extremidade).
  • Verificar se a fórmula obtida é coerente no limite z\gg L.
Informações relevantes do enunciado / figura (peguei estes dados da imagem):
  • O segmento tem comprimento L.
  • O ponto P está numa linha perpendicular ao segmento passando pela extremidade esquerda e a uma distância z acima dessa extremidade.
  • A densidade linear de carga é \lambda (constante ao longo do segmento).

Passo 2

Escolher coordenadas e dividir o problema em elementos de carga:
  • Coloco o segmento ao longo do eixo x, com a extremidade mais próxima do ponto P em x=0 e a outra em x=L.
  • O ponto P tem coordenadas (0,z).
  • Tomo um elemento de comprimento dx situado em x (com 0\le x\le L). A carga desse elemento é \,dq=\lambda\,dx.
  • Usarei a lei de Coulomb e princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos de cada elemento dq.

Passo 3

Expressar o campo diferencial de um elemento dq:
  • A constante de Coulomb em unidades do Sistema Internacional é 1/(4\pi\varepsilon_0).
  • O vetor que vai do elemento dq (em x) até P é \mathbf{r} = -x\,\hat{\mathbf{x}} + z\,\hat{\mathbf{z}}.
  • O módulo de \mathbf{r} é \,r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}\,.
  • O campo produzido por dq em P é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+z^{2})}\frac{-x\,\hat{\mathbf{x}}+z\,\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}.
  • Separando componentes:
dE_{x}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,x\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}, \qquad dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,z\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Escrever as integrais para obter as componentes totais do campo ( x-de 0 a L):
E_{x}=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}, \qquad E_{z}=\frac{\lambda\,z}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{L}\frac{dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Calcular E_{x}. Usar a antiderivada observando que
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}\right) =-\frac{x}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Portanto
\int\frac{x\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} + C.
Aplicando os limites de 0 a L:
E_{x}=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}\right]_{0}^{L} =-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}+\frac{1}{z}\right).
Arrumando o sinal:
E_{x}=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\right).
(Isto mostra explicitamente que E_{x} é negativo para \lambda>0, ou seja, aponta no sentido -\hat{\mathbf{x}}, como esperado fisicamente.)

Passo 6

Calcular E_{z}. Para a integral
\int\frac{dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}
faço a substituição trigonométrica x=z\tan\theta. Então dx=z\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e x^{2}+z^{2}=z^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta. Assim
\int\frac{dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}} =\int\frac{z\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(z^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}} =\int\frac{z\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{z^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{1}{z^{2}}\int\cos\theta\,d\theta.
Integrando:
\int\frac{dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{1}{z^{2}}\sin\theta + C.
Voltando às variáveis originais, \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}. Assim
\int\frac{dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{x}{z^{2}\sqrt{x^{2}+z^{2}}}+C.
Aplicando os limites 0 a L:
E_{z}=\frac{\lambda\,z}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{x}{z^{2}\sqrt{x^{2}+z^{2}}}\right]_{0}^{L} =\frac{\lambda\,z}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{L}{z^{2}\sqrt{L^{2}+z^{2}}} =\frac{\lambda\,L}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{z\sqrt{L^{2}+z^{2}}}.

Passo 7

Juntando as duas componentes obtemos o campo elétrico vetorial em P:
\mathbf{E} =-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\right)\hat{\mathbf{x}} +\frac{\lambda\,L}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{z\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\,\hat{\mathbf{z}}.
Esta é a expressão exata. Observações físicas rápidas: para \lambda>0 o termo em \hat{\mathbf{x}} é negativo (campo aponta para a esquerda, vindo das cargas à direita) e o termo em \hat{\mathbf{z}} é positivo (campo apontando para cima).

Passo 8

Verificação do limite z\gg L. Faço uma expansão em série útil (aproximação binomial) para \sqrt{L^{2}+z^{2}} quando z é muito maior que L:
\sqrt{L^{2}+z^{2}}=z\sqrt{1+\frac{L^{2}}{z^{2}}}\approx z\left(1+\frac{1}{2}\frac{L^{2}}{z^{2}}+\cdots\right).
Então
\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\approx\frac{1}{z}\left(1-\frac{1}{2}\frac{L^{2}}{z^{2}}+\cdots\right).
Substituindo nas componentes:
  • Para E_{x}:
\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{z}\approx -\frac{1}{2}\frac{L^{2}}{z^{3}},
logo
E_{x}\approx -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\right) \approx -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{2}\frac{L^{2}}{z^{3}}\right) =-\frac{\lambda L^{2}}{8\pi\varepsilon_0 z^{3}},
que é de ordem \sim z^{-3} e, portanto, muito pequeno quando z\gg L.
  • Para E_{z}:
\frac{L}{z\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\approx\frac{L}{z^{2}}\left(1-\frac{1}{2}\frac{L^{2}}{z^{2}}+\cdots\right),
logo o termo dominante é
E_{z}\approx\frac{\lambda\,L}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{z^{2}}.
Mas \lambda L é a carga total Q do segmento, então
\mathbf{E}\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^{2}}\,\hat{\mathbf{z}}
no limite z\gg L. Isto é exatamente o campo que se espera de uma carga pontual Q localizada na origem vista a distância z acima: coerente.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\right)\hat{\mathbf{x}}+\frac{\lambda\,L}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{z\sqrt{L^{2}+z^{2}}}\,\hat{\mathbf{z}}
\displaystyleNo limite z\gg L:\quad \mathbf{E}\approx\frac{\lambda L}{4\pi\varepsilon_0 z^{2}}\,\hat{\mathbf{z}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z^{2}}\,\hat{\mathbf{z}} (com Q=\lambda L).

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