- Encontre o campo elétrico a uma distància
acima de uma das extremidades de um segmento de linha reta
e que tem distribuiçāo linear de carga uniforme de densidade
. Verifique se sua fórmula é coerente com o que seria de se esperar, para o caso de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um segmento retilíneo de comprimento
com densidade linear de carga uniforme
. Pede-se:
- Encontrar o campo elétrico no ponto
que fica a uma distância acima de uma das extremidades do segmento (ou seja, a linha é horizontal e o ponto está perpendicular à sua extremidade). - Verificar se a fórmula obtida é coerente no limite
.
Informações relevantes do enunciado / figura (peguei estes dados da imagem):
- O segmento tem comprimento
. - O ponto
está numa linha perpendicular ao segmento passando pela extremidade esquerda e a uma distância acima dessa extremidade. - A densidade linear de carga é
(constante ao longo do segmento).
Passo 2
Escolher coordenadas e dividir o problema em elementos de carga:
- Coloco o segmento ao longo do eixo
, com a extremidade mais próxima do ponto em e a outra em . - O ponto
tem coordenadas . - Tomo um elemento de comprimento
situado em (com ). A carga desse elemento é . - Usarei a lei de Coulomb e princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos de cada elemento
.
Passo 3
Expressar o campo diferencial de um elemento
:
- A constante de Coulomb em unidades do Sistema Internacional é
. - O vetor que vai do elemento
(em ) até é . - O módulo de
é . - O campo produzido por
em é
- Separando componentes:
Passo 4
Escrever as integrais para obter as componentes totais do campo (
-de 0 a
):
Passo 5
Calcular
. Usar a antiderivada observando que
Portanto
Aplicando os limites de
a
:
Arrumando o sinal:
(Isto mostra explicitamente que
é negativo para
, ou seja, aponta no sentido
, como esperado fisicamente.)
Passo 6
Calcular
. Para a integral
faço a substituição trigonométrica
. Então
e
. Assim
Integrando:
Voltando às variáveis originais,
. Assim
Aplicando os limites
a
:
Passo 7
Juntando as duas componentes obtemos o campo elétrico vetorial em
:
Esta é a expressão exata. Observações físicas rápidas: para
o termo em
é negativo (campo aponta para a esquerda, vindo das cargas à direita) e o termo em
é positivo (campo apontando para cima).
Passo 8
Verificação do limite
. Faço uma expansão em série útil (aproximação binomial) para
quando
é muito maior que
:
Então
Substituindo nas componentes:
- Para
:
logo
que é de ordem
e, portanto, muito pequeno quando
.
- Para
:
logo o termo dominante é
Mas
é a carga total
do segmento, então
no limite
. Isto é exatamente o campo que se espera de uma carga pontual
localizada na origem vista a distância
acima: coerente.