- Encontre o campo elétrico a uma distància
acima do centro de uma espira quadrada (lado a) com uma densidade linear de carga uniforme
.
Passo 1
O enunciado (peguei os dados da imagem) dá uma espira quadrada de lado
com densidade linear de carga uniforme
. O ponto
onde queremos o campo está no eixo que passa pelo centro da espira, a uma distância
acima do plano da espira.
O que se pede: encontrar o vetor campo elétrico em
(ou, por simetria, o seu componente ao longo do eixo).
O que se pede: encontrar o vetor campo elétrico
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples: o plano da espira é o plano
e o centro da espira está na origem. O ponto
tem coordenadas
com
. Por simetria:
- as componentes horizontais (nos eixos
e ) de produzidas pelas cargas da espira se cancelam mutuamente, porque para cada elemento de carga há outro elemento simétrico em posição oposta; - portanto o campo em
tem apenas componente na direção . Vou chamar essa componente de (positiva se apontar para cima).
Passo 3
Usamos a lei de Coulomb para um elemento de carga. Seja um elemento infinitesimal de comprimento
numa das arestas da espira; sua carga é
O campo produzido por esse elemento em
é
onde
é o vetor que vai do elemento até
e
é a distância entre eles. Como só precisamos da componente
,
pois a componente
de
é exatamente
(o elemento está em
e
em
).
Passo 4
Vamos calcular a contribuição de uma aresta (um dos quatro lados) e depois multiplicar por 4. Escolha a aresta que é paralela ao eixo
e está localizada em
, com
variando de
a
. Um elemento nessa aresta tem coordenadas
. A distância de tal elemento até
é
Substituindo
em
obtemos a contribuição dessa aresta:
Integrando
de
a
dá o campo
devido a essa aresta:
onde para simplificar definimos
Note que o integrando é função par de
, portanto a integral de
a
vale o dobro da integral de
a
. Depois multiplicaremos por 4 (pelas 4 arestas).
Passo 5
Calculamos a integral
Uma maneira direta é usar a substituição trigonométrica
. Então
e
Substituindo,
Voltando para
,
. Assim a primitiva é
Agora avaliamos a integral definida de
a
. Usando a simetria (ou aplicando a primitiva nos limites) obtemos
Mas
. Portanto a integral vale
Passo 6
Substituindo essa integral em
obtemos a contribuição de uma aresta:
Agora somamos as quatro arestas (todas dão a mesma contribuição para
), então o campo total em
é
Recordando
, podemos escrever o resultado final de forma explícita:
Direção: para
o campo aponta para cima (sentido positivo de
); para
aponta para baixo.
Verificações rápidas:
- Para
(distância muito grande) o campo tende a com , e de fato a expressão se reduz a — compatível com carga pontual total. - Para
o campo é , coerente com a simetria (no plano da espira, no centro, não há componente perpendicular).