Encontre o centro de massa da região limitada pela pelas curvas
(eixo
) e
(elipse).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estes dados da imagem enviada).
- O enunciado pede o centro de massa (centroide) da região plana limitada por
(eixo ) e pela elipse
- Informações relevantes extraídas do enunciado/figura:
- A curva da elipse intercepta o eixo
em com (pois ) — peguei esses valores da imagem/enunciado. - O ponto mais alto da elipse é
. - A região solicitada é a “meia-elipse” superior (a parte da elipse acima do eixo
), isto é, o conjunto de pontos com e restritos pela elipse.
- A curva da elipse intercepta o eixo
- O que se pede: encontrar as coordenadas do centro de massa
da lamina correspondente, assumindo densidade superficial uniforme.
Passo 2
Formulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Para uma lamina de densidade superficial uniforme, as coordenadas do centro de massa são
onde:
-
é a região plana (neste caso a meia-elipse superior), -
é a área de , -
representa um elemento de área (por exemplo ou ). - Interpretação das variáveis:
e nas integrais são as coordenadas dos pontos da região; integrar sobre dá o momento estático em relação ao eixo ; integrar dá o momento estático em relação ao eixo . - Observação útil (simetria): se a região
é simétrica em relação ao eixo (como aqui — a meia-elipse é simétrica à esquerda e direita), então automaticamente . Isso evita cálculo desnecessário para .
Passo 3
Determinar
por simetria.
- A meia-elipse superior é simétrica em relação ao eixo
: para cada ponto em existe também em . - Portanto
Passo 4
Calcular a área
da região
.
- Para cada
entre e , as abscissas da elipse satisfazem
- A largura horizontal (extensão em
) para um dado é
- Então a área é
- Avaliando a integral: sabe-se que
(é a área de um quarto de círculo de raio
). Assim
- Observação alternativa (fórmula da área da elipse): a área total de uma elipse
é . Aqui , área total ; a meia-elipse superior tem metade dessa área, isto é . Mesmo resultado, check!
Passo 5
Calcular
.
- Em coordenadas
primeiro (horizontal strips), o momento em relação ao eixo é
- Então
- Avaliação da integral. Use a substituição
. - Quando
temos ; quando temos . - Note que
. Assim
- Quando
- Agora
- Logo
- Portanto
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida.
- Coordenadas finais do centro de massa:
(por simetria) e . - Em valor decimal aproximado,
, ou seja o centro de massa está um pouco abaixo do ponto médio vertical , o que faz sentido porque a região é mais larga perto de .