Encontre o centro de massa da região limitada pela pelas curvas y=0 (eixo x ) e x^{2} / 4+y^{2}=1 (elipse).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estes dados da imagem enviada).
  • O enunciado pede o centro de massa (centroide) da região plana limitada por y=0 (eixo x) e pela elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado/figura:
    • A curva da elipse intercepta o eixo x em y=0 com x=\pm 2 (pois \frac{x^{2}}{4}=1\Rightarrow x=\pm2) — peguei esses valores da imagem/enunciado.
    • O ponto mais alto da elipse é x=0,\;y=1.
    • A região solicitada é a “meia-elipse” superior (a parte da elipse acima do eixo x), isto é, o conjunto de pontos com 0\le y\le 1 e -2\le x\le 2 restritos pela elipse.
  • O que se pede: encontrar as coordenadas do centro de massa (\bar{x},\bar{y}) da lamina correspondente, assumindo densidade superficial uniforme.

Passo 2

Formulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Para uma lamina de densidade superficial uniforme, as coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{D} x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{D} y\,dA,
onde:
  • D é a região plana (neste caso a meia-elipse superior),
  • A=\iint_{D} dA é a área de D,
  • dA representa um elemento de área (por exemplo dA=dx\,dy ou dA=dy\,dx).
  • Interpretação das variáveis: x e y nas integrais são as coordenadas dos pontos da região; integrar x\,dA sobre D dá o momento estático em relação ao eixo y; integrar y\,dA dá o momento estático em relação ao eixo x.
  • Observação útil (simetria): se a região D é simétrica em relação ao eixo y (como aqui — a meia-elipse é simétrica à esquerda e direita), então automaticamente \bar{x}=0. Isso evita cálculo desnecessário para \bar{x}.

Passo 3

Determinar \bar{x} por simetria.
  • A meia-elipse superior é simétrica em relação ao eixo y: para cada ponto (x,y) em D existe (-x,y) também em D.
  • Portanto
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{D} x\,dA = 0.

Passo 4

Calcular a área A da região D.
  • Para cada y entre 0 e 1, as abscissas x da elipse satisfazem
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2\sqrt{1-y^{2}}.
  • A largura horizontal (extensão em x) para um dado y é
\text{largura}(y)=2\cdot 2\sqrt{1-y^{2}}=4\sqrt{1-y^{2}}.
  • Então a área é
A=\int_{y=0}^{1} \text{largura}(y)\,dy =\int_{0}^{1}4\sqrt{1-y^{2}}\,dy.
  • Avaliando a integral: sabe-se que
\int_{0}^{1}\sqrt{1-y^{2}}\,dy=\frac{\pi}{4}
(é a área de um quarto de círculo de raio 1). Assim
A=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi.
  • Observação alternativa (fórmula da área da elipse): a área total de uma elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 é \pi ab. Aqui a=2,\;b=1, área total \pi\cdot2\cdot1=2\pi; a meia-elipse superior tem metade dessa área, isto é A=\pi. Mesmo resultado, check!

Passo 5

Calcular \bar{y}=\dfrac{1}{A}\iint_{D} y\,dA.
  • Em coordenadas y primeiro (horizontal strips), o momento em relação ao eixo x é
M_{x}=\iint_{D} y\,dA=\int_{y=0}^{1} y\cdot\text{largura}(y)\,dy =\int_{0}^{1} y\cdot 4\sqrt{1-y^{2}}\,dy.
  • Então
\bar{y}=\frac{M_{x}}{A}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1} 4y\sqrt{1-y^{2}}\,dy.
  • Avaliação da integral. Use a substituição \,u=1-y^{2}\Rightarrow du=-2y\,dy.
    • Quando y=0 temos u=1; quando y=1 temos u=0.
    • Note que y\,dy=-\dfrac{du}{2}. Assim
\int_{0}^{1} 4y\sqrt{1-y^{2}}\,dy =4\int_{y=0}^{1} y\sqrt{u}\,dy =4\int_{u=1}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{du}{2}\right) =4\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.
  • Agora
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.
  • Logo
\int_{0}^{1} 4y\sqrt{1-y^{2}}\,dy = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
  • Portanto
\bar{y}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3\pi}.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida.
  • Coordenadas finais do centro de massa: \bar{x}=0 (por simetria) e \bar{y}=\dfrac{4}{3\pi}.
  • Em valor decimal aproximado, \dfrac{4}{3\pi}\approx 0{,}4244, ou seja o centro de massa está um pouco abaixo do ponto médio vertical y=\tfrac{1}{2}=0{,}5, o que faz sentido porque a região é mais larga perto de y=0.

Resposta

\left(0,\dfrac{4}{3\pi}\right)

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