Questão 46. Encontre:
o determinante da matriz T=\left(\begin{array}{ccc}0 & -4 & 2 \\\ x & 0 & 1-z \\\ y & 2 z & 0\end{array}\right) sabendo que ela é anti-simétrica.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Foi dada a matriz
T=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\ x & 0 & 1-z \\\ y & 2z & 0 \end{pmatrix}.
  • O enunciado afirma que a matriz T é anti-simétrica (isto é, para todo i,j vale T_{ji}=-T_{ij}).
  • O que se pede: encontrar o determinante de T.

Passo 2

Entender o que significa “anti-simétrica” no nível dos elementos da matriz (aula rápida, sem enrolação).
  • Para uma matriz 3\times3, a condição anti-simétrica dá as relações entre entradas:
    • As entradas da diagonal satisfazem T_{ii}= -T_{ii}. Isso implica T_{ii}=0 para todo i. Aqui as entradas diagonais já são 0.
    • Para i\neq j vale T_{ji}=-T_{ij}. Ou seja, cada elemento acima da diagonal determina o correspondente abaixo da diagonal como o seu negativo.
Vou aplicar isso aos elementos concretos de T.

Passo 3

Aplicar as condições T_{ji}=-T_{ij} para achar x,y,z.
  • Da posição (1,2) temos T_{12}=-4. Logo pela anti-simetria
    T_{21} = -T_{12} = -(-4) = 4.
    Mas T_{21}=x. Portanto
    x=4.
  • Da posição (1,3) temos T_{13}=2. Pela anti-simetria
    T_{31} = -T_{13} = -2.
    Mas T_{31}=y. Portanto
    y=-2.
  • Da posição (2,3) temos T_{23}=1-z. Pela anti-simetria
    T_{32} = -T_{23} = -(1-z)=z-1.
    Mas T_{32}=2z (dado na matriz). Então igualando:
    2z = z-1.
    Resolvendo essa equação:
    2z - z = -1 \quad\Rightarrow\quad z = -1.
Assim obtemos explicitamente x=4, y=-2, z=-1.

Passo 4

Substituir x,y,z na matriz T e escrever a matriz final que vamos usar no cálculo do determinante.
Substituindo obtemos
T= \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 1-(-1) \\\\ -2 & 2(-1) & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 2 \\\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular o determinante da matriz encontrada. Vou usar a regra de Sarrus / expansão por primeira linha de forma explicita (expansão por menores) para ficar bem passo a passo.
A fórmula de expansão pela primeira linha para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
é
\det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg).
Aqui a=0, b=-4, c=2, d=4, e=0, f=2, g=-2, h=-2, i=0.
Aplicando a fórmula:
  • Primeiro termo: a(ei-fh)=0\cdot(\cdots)=0.
  • Segundo termo: -b(di-fg) = -(-4)\big(4\cdot0 - 2\cdot(-2)\big).
    Calcular o menor: di-fg = 4\cdot0 - 2\cdot(-2) = 0 + 4 = 4.Então o segundo termo é -b(di-fg) = 4\cdot 4 = 16.
  • Terceiro termo: +c(dh-eg) = 2\big(4\cdot(-2) - 0\cdot(-2)\big).
    Calcular o menor: dh-eg = 4\cdot(-2) - 0\cdot(-2) = -8 - 0 = -8.Então o terceiro termo é 2\cdot(-8) = -16.
Somando os termos:
\det(T) = 0 + 16 - 16 = 0.

Passo 6

Interpretação final e conexão com uma propriedade geral (uma dica útil para prova).
  • Encontramos \det(T)=0.
  • Observação importante que vale a pena decorar para provas: toda matriz anti-simétrica de ordem ímpar tem determinante zero. Aqui a matriz é 3\times3 (ordem ímpar), então é coerente com essa propriedade geral — o cálculo explícito acima confirma.
Força aí — mesmo que tudo pareça confuso, essa propriedade é uma mão na roda em problemas parecidos.

Resposta

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