Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) y = x^3, y = 0, x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região limitada pelas curvas , (que é o eixo x) e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde a gente usa integrais para encontrar o centro de massa de uma área. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e as coordenadas e do centróide usando essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área da região. A área é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de até . Nesse caso, a função superior é e a inferior é .

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Então, a área da região é 20,25 unidades quadradas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Aqui, e . Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Substituindo e , temos:

Passo 7

Vamos calcular essa integral:
Então,

Resposta

O centróide da região é .

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