Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região limitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde a gente usa integrais para encontrar o centro de massa de uma área. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e as coordenadas
e
do centróide usando essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a área da região. A área
é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de
até
. Nesse caso, a função superior é
e a inferior é
.
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Então, a área da região é 20,25 unidades quadradas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centróide. A fórmula para
é:
Aqui,
e
. Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centróide. A fórmula para
é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Então,
Resposta
O centróide da região é
.