Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(i) y = x^(2/3), y = 0, y = 8.

Passo 1

Então, temos que encontrar o centróide da região delimitada pelas equações , e . O centróide é como o “centro de massa” dessa região. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral para determinar a área da região e as coordenadas e do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam para definir os limites de integração. Sabemos que:
  1. intersecta quando .
  2. intersecta quando .
Calculando :
Então, a região vai de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região. A área sob a curva entre e é dada por:
Integrando :
Simplificando :
Sabendo que :

Passo 4

Vamos agora encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Integrando :
Simplificando :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Integrando :
Simplificando :
Calculando :
Então,

Resposta

O centróide da região delimitada pelas equações , e está aproximadamente em .

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