Encontre o comprimento de arco das curvas dadas em coordenadas polares.
r=3 \theta^{2}, \quad \theta \in[0,2 \pi / 3]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares
r=3\theta^{2},\quad \theta\in[0,2\pi/3].
O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}}\;d\theta.

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a \theta:
r'(\theta)=\frac{d}{d\theta}(3\theta^{2})=6\theta.
Substituindo embaixo da raiz:
r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} =9\theta^{4}+36\theta^{2} =9\theta^{2}(\theta^{2}+4)
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\sqrt{r^{2}+(r')^{2}}=3\theta\sqrt{\theta^{2}+4}.

Passo 3

Assim o comprimento de arco é
L=\int_{0}^{2\pi/3}3\theta\sqrt{\theta^{2}+4}\;d\theta.
Para resolver, usamos a substituição
u=\theta^{2}+4,\quad du=2\theta\,d\theta\quad\Longrightarrow\quad \theta\,d\theta=\tfrac12\,du.

Passo 4

Em \theta=0 temos u=4 e em \theta=2\pi/3 temos u=4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}. O integral vira
L =\int_{u=4}^{\,4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}}3\sqrt{u}\;\frac{du}{2} =\frac{3}{2}\int_{4}^{\,4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}}u^{1/2}\,du =\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{4}^{\,4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}} =\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{4}^{\,4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}}.

Passo 5

Avaliaremos
L =\Bigl(4+\tfrac{4\pi^{2}}{9}\Bigr)^{3/2}-4^{3/2} =\Bigl(\tfrac{4(\pi^{2}+9)}{9}\Bigr)^{3/2}-8 =\frac{8}{27}(\pi^{2}+9)^{3/2}-8.

Resposta

L =\frac{8}{27}(\pi^{2}+9)^{3/2}-8.

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