Esboce o gráfico das seguintes curvas dadas em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede o esboço, em coordenadas polares, da curva
O conteúdo aqui é o estudo de curvas paramétricas em polares, mais especificamente uma espiral logarítmica/exponencial. Para desenhar, vamos analisar o domínio, o comportamento de
conforme
varia e alguns pontos-chave para orientar o traçado.
Passo 2
Definimos o domínio natural de
como
. Note que
- Para
, . - Para
, .
Logo, à medida quecresce, o raio decai exponencialmente, e à medida que diminui, o raio cresce sem limite.
Passo 3
Escolhemos ângulos padrão e calculamos
:
Esses pontos mostram como o raio cai rapidamente a cada volta de
.
Passo 4
Para cada
acima, o ponto no plano cartesiano é
Por exemplo, em
temos
; em
,
, e assim por diante. Isso revela uma espiral que gira no sentido anti-horário e se aproxima cada vez mais do polo.
Passo 5
Unindo suavemente esses pontos e lembrando que
varia de
a
conforme
vai de
a
, obtemos uma espiral logarítmica/exponencial que:
- Para
nasce muito distante do polo; - Gira no sentido anti-horário;
- Aproxima-se do polo de forma exponencial à medida que
cresce.
Resposta
O gráfico é uma espiral exponencial (logarítmica) dada por
que, partindo do infinito quando
, faz voltas anti-horárias e decresce exponencialmente até se aproximar do polo quando
.