Esboce o gráfico das seguintes curvas dadas em coordenadas polares.
r=e^{-\theta}

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas polares, da curva
r = e^{-\theta}\,.
O conteúdo aqui é o estudo de curvas paramétricas em polares, mais especificamente uma espiral logarítmica/exponencial. Para desenhar, vamos analisar o domínio, o comportamento de r conforme \theta varia e alguns pontos-chave para orientar o traçado.

Passo 2

Definimos o domínio natural de \theta como (-\infty,\infty). Note que
  • Para \theta\to -\infty, r = e^{-\theta}\to +\infty.
  • Para \theta\to +\infty, r = e^{-\theta}\to 0^+.
    Logo, à medida que \theta cresce, o raio decai exponencialmente, e à medida que \theta diminui, o raio cresce sem limite.

Passo 3

Escolhemos ângulos padrão e calculamos r:
\begin{aligned} \theta &= 0\quad\Rightarrow\quad r = e^{0} = 1,\\\ \theta &= \tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad r = e^{-\pi/2}\approx0{,}208,\\\ \theta &= \pi\quad\Rightarrow\quad r = e^{-\pi}\approx0{,}043,\\\ \theta &= \tfrac{3\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad r = e^{-3\pi/2}\approx0{,}009,\\\ \theta &= 2\pi\quad\Rightarrow\quad r = e^{-2\pi}\approx0{,}002. \end{aligned}
Esses pontos mostram como o raio cai rapidamente a cada volta de 2\pi.

Passo 4

Para cada (r,\theta) acima, o ponto no plano cartesiano é
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
Por exemplo, em \theta=\tfrac{\pi}{2} temos (x,y)\approx(0,\,0{,}208); em \theta=\pi, (x,y)\approx(-0{,}043,\,0), e assim por diante. Isso revela uma espiral que gira no sentido anti-horário e se aproxima cada vez mais do polo.

Passo 5

Unindo suavemente esses pontos e lembrando que r varia de +\infty a 0 conforme \theta vai de -\infty a +\infty, obtemos uma espiral logarítmica/exponencial que:
  1. Para \theta\to -\infty nasce muito distante do polo;
  2. Gira no sentido anti-horário;
  3. Aproxima-se do polo de forma exponencial à medida que \theta cresce.

Resposta

O gráfico é uma espiral exponencial (logarítmica) dada por
r = e^{-\theta},
que, partindo do infinito quando \theta\to -\infty, faz voltas anti-horárias e decresce exponencialmente até se aproximar do polo quando \theta\to +\infty.

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