Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de
até
ou no intervalo especificado.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da equação
entre os pontos
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o conceito de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 3
Vamos então calcular a derivada da nossa função
. Usando a regra do poder, temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos integrar
:
Então, aplicando os limites:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Resposta
O comprimento do arco entre os pontos
e
é aproximadamente 16,59 unidades.