Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
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, o eixo
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Basicamente, esse método nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando é mais fácil integrar em relação a uma variável específica. Vamos precisar entender como as cascas cilíndricas funcionam e como configurar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender a região que vamos girar. A curva
é uma parábola que abre para baixo. Vamos encontrar os pontos onde ela intercepta o eixo
(
):
Então, a região limitada é entre
e
sob a parábola.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método consiste em imaginar a região sendo dividida em pequenos retângulos verticais, que, ao girar em torno do eixo
, formam cascas cilíndricas. A fórmula para o volume pelo método das cascas é:
Onde:
-
é a distância do retângulo ao eixo de rotação (eixo neste caso). -
é a altura do retângulo, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores. -
e são os limites de integração (0 e 2 aqui).
Passo 4
Vamos identificar
. Como estamos girando em torno do eixo
, a altura do retângulo é a diferença entre
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos multiplicar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos calcular essa integral de 0 a 2:
Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto, o valor da integral é
.
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.