Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
© y = -x^2 + 2x, y = 0, o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Basicamente, esse método nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando é mais fácil integrar em relação a uma variável específica. Vamos precisar entender como as cascas cilíndricas funcionam e como configurar a integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender a região que vamos girar. A curva é uma parábola que abre para baixo. Vamos encontrar os pontos onde ela intercepta o eixo ( ):
Então, a região limitada é entre e sob a parábola.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método consiste em imaginar a região sendo dividida em pequenos retângulos verticais, que, ao girar em torno do eixo , formam cascas cilíndricas. A fórmula para o volume pelo método das cascas é:
Onde:
  • é a distância do retângulo ao eixo de rotação (eixo neste caso).
  • é a altura do retângulo, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores.
  • e são os limites de integração (0 e 2 aqui).

Passo 4

Vamos identificar . Como estamos girando em torno do eixo , a altura do retângulo é a diferença entre e :

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos multiplicar dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos calcular essa integral de 0 a 2:
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, o valor da integral é .

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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