Encontre as condições necessárias e suficientes sobre
e
que tornam verdadeiras as seguintes sentenças:
Passo 1
O enunciado pede para achar em linguagem de teoria de conjuntos as condições sobre
e
tais que
O conteúdo aqui é definição de interseção e noções de inclusão (subconjunto).
Passo 2
Lembramos que
Portanto,
significa que todo elemento de
está em
(para não “perder” nada da interseção) e que não aparece nenhum elemento fora de
.
Passo 3
Mostramos primeiro que se
então
.
- Se
, como , segue . Logo . - Se
, por definição .
Assim os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos.
Passo 4
Agora mostramos que se
então
.
- Seja
. Como , temos , o que implica . - Logo todo
pertence a , isto é, .
Resposta
A condição necessária e suficiente é