Encontre as condições necessárias e suficientes sobre A e B que tornam verdadeiras as seguintes sentenças:
A-B=B-A.

Passo 1

O problema pede para encontrar condições necessárias e suficientes sobre dois conjuntos A e B para que
A - B \;=\; B - A.
Aqui o conteúdo básico é a definição de diferença de conjuntos, ou seja
A - B = \{\,x\mid x\in A\text{ e }x\notin B\}, \quad B - A = \{\,x\mid x\in B\text{ e }x\notin A\}.

Passo 2

Mostramos primeiro que se
A - B = B - A
então necessariamente A = B.
Sejam x um elemento arbitrário de A. Há dois casos:
  • Se x\in B, não há problema.
  • Se x\notin B, então x\in A - B. Como A - B = B - A, segue x\in B - A, ou seja x\in B e x\notin A. Mas isso contradiz x\in A.
Logo não pode ocorrer x\notin B, de modo que sempre x\in B. Assim mostramos
A\subseteq B.
De forma análoga, trocando os papéis de A e B, obtemos
B\subseteq A.
Dessa forma
A = B.

Passo 3

Agora mostramos a recíproca: se A = B, então
A - B = \varnothing \quad\text{e}\quad B - A = \varnothing,
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A - B = B - A.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
\boxed{A = B.}

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