Encontre as condições necessárias e suficientes sobre
e
que tornam verdadeiras as seguintes sentenças:
.
Passo 1
O problema pede para encontrar condições necessárias e suficientes sobre dois conjuntos
e
para que
Aqui o conteúdo básico é a definição de diferença de conjuntos, ou seja
Passo 2
Mostramos primeiro que se
então necessariamente
.
Sejam
um elemento arbitrário de
. Há dois casos:
- Se
, não há problema. - Se
, então . Como , segue , ou seja e . Mas isso contradiz .
Logo não pode ocorrer
, de modo que sempre
. Assim mostramos
De forma análoga, trocando os papéis de
e
, obtemos
Dessa forma
Passo 3
Agora mostramos a recíproca: se
, então
logo
Resposta
A condição necessária e suficiente é