Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o conjunto domínio da função (ou seja, todos os
reais para os quais está bem definida como número real). - Encontrar as raízes da função, se for possível (os valores de
tais que ).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- A expressão dentro da raiz é uma fração com numerador
e denominador . - A função raiz quadrada exige que o seu argumento seja maior ou igual a zero para resultar em número real.
Passo 2
Regras importantes que vamos aplicar (explicadas de maneira simples):
- Para a raiz quadrada
ser um número real precisamos ter . Aqui é a expressão inteira que está sob a raiz. - Um exponencial da forma
é sempre positivo para todo ; em particular, nunca é zero. Portanto um denominador nunca anula a fração. - Ao manipular desigualdades, dividir ou multiplicar por um número positivo não altera o sentido da desigualdade. Como
, podemos multiplicar ambos os lados por sem mudar o sinal das desigualdades.
Passo 3
Vamos simplificar o expoente no denominador para ver melhor a expressão. O expoente é
logo o denominador é
. Reescrevendo a função:
Observação útil: como
para todo
, o sinal da fração depende apenas do numerador
.
Passo 4
Condição para o domínio: o radicando deve ser não negativo.
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem mudar a desigualdade, obtendo a condição equivalente
Portanto o domínio é dado pelos
que satisfazem essa desigualdade quadrática.
Passo 5
Resolver a desigualdade
.
- Fatorando o lado esquerdo:
- Os pontos críticos (onde o produto é zero) são
e . Para determinar onde o produto é não negativo fazemos um estudo de sinais ou tomamos pontos de teste em cada intervalo:
- Se
, por exemplo : . - Se
, por exemplo : . - Se
, por exemplo : .
- Como queremos
, a solução é
Portanto o domínio da função é
.
Passo 6
Agora as raízes: resolver
.
Sabendo que
ocorre exatamente quando
(porque a raiz quadrada é sempre
), temos que
Uma fração com denominador diferente de zero é zero exatamente quando o numerador é zero. Como
sempre, basta resolver
Isso dá
Verificação rápida: ambos
e
pertencem ao domínio encontrado em
Resposta
Domínio:
Raízes: