Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{e^{1-(x-2)}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{e^{1-(x-2)}}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o conjunto domínio da função (ou seja, todos os x reais para os quais f(x) está bem definida como número real).
  • Encontrar as raízes da função, se for possível (os valores de x tais que f(x)=0).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • A expressão dentro da raiz é uma fração com numerador x^{2}-4 e denominador e^{1-(x-2)}.
  • A função raiz quadrada exige que o seu argumento seja maior ou igual a zero para resultar em número real.

Passo 2

Regras importantes que vamos aplicar (explicadas de maneira simples):
  • Para a raiz quadrada \sqrt{y} ser um número real precisamos ter y\ge 0. Aqui y é a expressão inteira que está sob a raiz.
  • Um exponencial da forma e^{t} é sempre positivo para todo t\in\mathbb{R}; em particular, nunca é zero. Portanto um denominador e^{t} nunca anula a fração.
  • Ao manipular desigualdades, dividir ou multiplicar por um número positivo não altera o sentido da desigualdade. Como e^{t}>0, podemos multiplicar ambos os lados por e^{t} sem mudar o sinal das desigualdades.

Passo 3

Vamos simplificar o expoente no denominador para ver melhor a expressão. O expoente é
1-(x-2)=1-x+2=3-x,
logo o denominador é e^{3-x}. Reescrevendo a função:
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{e^{3-x}}}.
Observação útil: como e^{3-x}>0 para todo x, o sinal da fração depende apenas do numerador x^{2}-4.

Passo 4

Condição para o domínio: o radicando deve ser não negativo.
\frac{x^{2}-4}{e^{3-x}}\ge 0.
Como e^{3-x}>0, podemos multiplicar ambos os lados por e^{3-x} sem mudar a desigualdade, obtendo a condição equivalente
x^{2}-4\ge 0.
Portanto o domínio é dado pelos x que satisfazem essa desigualdade quadrática.

Passo 5

Resolver a desigualdade x^{2}-4\ge 0.
  1. Fatorando o lado esquerdo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  1. Os pontos críticos (onde o produto é zero) são x=-2 e x=2. Para determinar onde o produto é não negativo fazemos um estudo de sinais ou tomamos pontos de teste em cada intervalo:
  • Se x<-2, por exemplo x=-3: (x-2)(x+2)=(-5)\cdot(-1)=+5>0.
  • Se -2<x<2, por exemplo x=0: (x-2)(x+2)=(-2)\cdot(2)=-4<0.
  • Se x>2, por exemplo x=3: (x-2)(x+2)=(1)\cdot(5)=+5>0.
  1. Como queremos (x-2)(x+2)\ge 0, a solução é
x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Portanto o domínio da função é \,(-\infty,-2]\cup[2,\infty).

Passo 6

Agora as raízes: resolver f(x)=0.
Sabendo que \sqrt{t}=0 ocorre exatamente quando t=0 (porque a raiz quadrada é sempre \ge 0), temos que
\frac{x^{2}-4}{e^{3-x}}=0.
Uma fração com denominador diferente de zero é zero exatamente quando o numerador é zero. Como e^{3-x}\neq 0 sempre, basta resolver
x^{2}-4=0.
Isso dá
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Verificação rápida: ambos x=-2 e x=2 pertencem ao domínio encontrado em

Resposta

Domínio: (-\infty,-2]\cup[2,\infty)
Raízes: x=-2,\;x=2

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